所有子矩阵的按位或运算

在处理二进制矩阵时，我们经常需要对所有子矩阵进行按位或运算。这个问题可以通过使用动态规划来解决。

方法一：暴力枚举

最简单的方法是枚举所有的子矩阵，并将它们的按位或值相加。但是这个方法的时间复杂度为 $O(n^6)$，无法通过大规模测试数据。

方法二：动态规划

首先，我们可以把矩阵按行依次处理，设 $dp[i][j]$ 表示以下标为 $i$ 的行为底边，以位置 $j$ 结尾的矩形的按位或值。

那么，如果我们已经求出了 $dp[i][j]$，如何求出 $dp[i+1][j]$ 呢？我们只需要将第 $i+1$ 行与第 $i$ 行中每列的元素分别按位或即可。具体地，我们可以使用如下的转移方程：

$$dp[i+1][j]=dp[i][j]\ \text{or}\ A[i+1][j]$$

这样，我们就可以使用该数组来计算所有子矩阵的按位或值。

最终的时间复杂度为 $O(n^3)$，可以通过大部分测试数据。以下为样例代码：

n = len(matrix)
m = len(matrix[0])
dp = [[0] * m for _ in range(n)]
for i in range(n):
    for j in range(m):
        dp[i][j] = matrix[i][j] | dp[i - 1][j] if i else matrix[i][j]
res = 0
for i in range(n):
    for j in range(m):
        for k in range(i, n):
            for l in range(j, m):
                res |= dp[k][l] - (dp[i - 1][l] if i else 0) - (dp[k][j - 1] if j else 0) + (dp[i - 1][j - 1] if i and j else 0)