按位与之和

在本文中，我们将讨论矩阵的一个特殊的性质，即所有子矩阵的按位与之和。

什么是按位与？

在计算机中，按位与是一种位运算符，用于比较两个二进制数字的每一位。它的操作规则如下：

• 如果两个数字的某一位都是1，则结果的该位也为1。
• 否则，结果的该位为0。

例如，假设我们有两个二进制数字1010和1100，则它们的按位与运算结果为1000。

按位与之和的定义

对于一个给定的矩阵$M$，我们可以将它的所有子矩阵表示为：

$$ {M_{i,j,k,l}}{}^{n \times m}{1 \le i \le k \le n, 1 \le j \le l \le m} $$

这里，$M_{i,j,k,l}$表示从第$i$行第$j$列到第$k$行第$l$列的子矩阵。

我们可以用$A(M_{i,j,k,l})$表示子矩阵$M_{i,j,k,l}$中所有数字的按位与结果，即：

$$ A(M_{i,j,k,l}) = M_{i,j} & M_{i,j+1} & ... & M_{k,l} $$

其中，$&$表示按位与运算符。

按位与之和即为所有子矩阵按位与的结果的和，即：

$$ sum_A(M) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^m\sum_{k=i}^n\sum_{l=j}^mA(M_{i,j,k,l}) $$

解决方法

对于一个简单的矩阵，可以尝试对每个子矩阵进行按位与操作，并将结果相加。但是，对于大型矩阵，这样做的时间复杂度将非常高，因为需要进行太多的按位与运算。

下面是一些方法来优化这个问题：

方法一：基于动态规划

我们可以使用动态规划来避免计算许多重复子矩阵。具体来说，我们可以使用一个$dp$数组来存储矩阵$M$中$M_{i,j}$到$M_{k,l}$的子矩阵的按位与结果。

具体而言，$dp[i][j][k][l]$表示从第$i$行第$j$列到第$k$行第$l$列的子矩阵的按位与结果。

我们可以使用以下公式来计算$dp$数组中的每个元素：

$$ dp[i][j][k][l] = dp[i][j][k-1][l] & dp[i][j][k][l-1] & M_{k,l} $$

接下来，我们可以使用一个二维数组$sum$来保存所有子矩阵的按位与的结果。$sum[i][j]$表示所有以$M_{i,j}$作为左上角的子矩阵按位与的结果。则：

$$ sum_A(M) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^m\sum_{k=i}^n\sum_{l=j}^mdp[i][j][k][l] $$

该方法的时间复杂度为$O(n^4)$。

方法二：基于位运算的技巧

由于矩阵中的每个数字只有32位，我们可以使用位运算的技巧来优化代码，以避免重复计算。

具体而言，我们可以使用一个长度为32的数组$mask$来存储每个数字的每一位的值。例如，对于一个数字$x$，$mask[i]$表示$x$的第$i$位的值。

接下来，我们可以对于每一列$j$，使用一个哈希表来保存以该列为右边界的每个子矩阵的按位与结果。

同时，我们也可以使用一个长度为32的数组$s$来保存子矩阵中每个位的按位与结果。具体而言，如果$s[i]$为1，则表示矩阵中第$i$位上的所有数字的按位与结果均为1。

然后，我们可以遍历所有子矩阵，并用$mask$数组和$s$数组来计算每个子矩阵的按位与结果。最后，将所有按位与的结果相加即可得到所有子矩阵的按位与之和。

该方法的时间复杂度为$O(n^2 \cdot 2^{32})$。

总结

按位与之和是一个有趣的问题，它需要我们仔细地考虑如何优化代码来避免重复计算。通过使用动态规划或位运算技巧，我们可以获得更高效的算法来解决这个问题。