求所有子矩阵的按位与之和

问题描述

给定一个非负整数矩阵，请计算所有子矩阵的按位与之和。

示例 1：

输入：

matrix = [[1, 0, 1],
          [0, 1, 0],
          [1, 0, 1]]

输出： 13

示例 2：

输入：

matrix = [[1, 1, 1],
          [1, 1, 1],
          [1, 1, 1]]

输出： 28

解题思路

暴力枚举法

暴力枚举法的思路比较简单，就是枚举所有的子矩阵，然后求出它们的按位与之和。但是这种方法的时间复杂度较高，不适合处理大规模的数据。

时间复杂度：$O(n^6)$ 空间复杂度：$O(1)$

优化方法

考虑如何降低时间复杂度。可以发现，如果两个数按位与的结果为0，则这两个数的某一二进制位必须有至少有一个为0。因此，可以对矩阵中的每一列进行处理，将每一列看成是一个二进制数，然后找到每一列中最左边的0，这些0所在的位置就是可以让该列和其他列按位与的位置，因为只要有一个位置上的数是0，结果就是0。

例如，对于示例1中的矩阵：

[[1, 0, 1],
 [0, 1, 0],
 [1, 0, 1]]

可以处理出以下数组：

max0 = [1, 0, 1]
mask = 100

其中, max0 表示每一列最左边的0所在的位置，而 mask 表示所有列的最左边的0所在的位置bitwise-and起来的结果。这是因为只要有一个位置上的数是0，结果就是0。

计算按位与之和时，遍历所有子矩阵，将子矩阵中的每一列做按位与，然后将每一列的按位与结果累加起来就是最终的结果。

时间复杂度：$O(n^3)$ 空间复杂度：$O(n)$

代码实现

def sumSubmatrix(matrix):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    max0 = [0] * n
    mask = 0

    # 循环每一行
    for i in range(m):
        # 循环每一列，找到最左边的0
        for j in range(n):
            max0[j] = max0[j] + 1 if matrix[i][j] == 0 else 0

        # 计算 mask 
        cur_mask = 0
        for j in range(n):
            cur_mask <<= 1
            if max0[j] > 0:
                mask |= cur_mask
            else:
                cur_mask |= 1

   # 计算所有子矩阵的按位与之和
    res = 0
    for i in range(m):
        for j in range(i, m):
            and_sum = 2**n - 1

            for k in range(n):
                maskk = mask & (2**k - 1)
                for l in range(i, j+1):
                    and_sum &= matrix[l][k] & ~maskk

            res += and_sum

    return res

以上为python代码实现，该函数的参数是一个二维矩阵，返回值是所有子矩阵的按位与之和。