最大化数组中 K 个角元素的总和

在计算机编程中，我们有时需要在数组中选取一些元素进行计算，以得出最大或最小值。本文将介绍如何在给定数组中选取 K 个角元素，使得它们的总和最大。

问题描述

给定一个长度为N的数组，以及一个正整数K，选取其中K个角元素，使得它们的总和最大。角元素的定义为：数组中的最小值或最大值。

假设数组中的元素不全相等，且K <= N。

解决方法

1. 排序

首先我们可以对数组进行排序，然后选取前K个最大值和后K个最小值。这种方法的时间复杂度为O(N log N)，但是不能保证选取的角元素全部是不同的，因此需要额外的处理。

2. 遍历

我们也可以直接遍历数组，选取其中的最大值和最小值。每次选取后可以将其从数组中删除，以避免重复计算。这种方法的时间复杂度为O(NK)，但是可以保证选取的角元素不同。

3. 动态规划

动态规划是一种递归算法，它将问题分解为子问题，解决每个子问题以获取最终问题的解决方案。对于本问题，我们可以使用以下状态转移方程：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1] + max(nums[i], set[i])) dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1] + min(nums[i], set[i]))

其中dp[i][j]表示前i个元素选取j个角元素的最大值，nums[i]表示第i个元素的值，set[i]表示前i个元素中的最小值或最大值（取决于要选取的角元素类型）。

时间复杂度为O(NK)，空间复杂度为O(NK)。

代码实现示例

方案一

def select_k_elements(nums, k):
    nums_len = len(nums)
    nums.sort()
    max_elems = nums[nums_len-k:]
    min_elems = nums[:k]
    return sum(max_elems) + sum(min_elems)

方案二

def select_k_elements(nums, k):
    max_elems = []
    min_elems = []
    for i in range(k):
        max_el = max(nums)
        min_el = min(nums)
        max_elems.append(max_el)
        min_elems.append(min_el)
        nums.remove(max_el)
        nums.remove(min_el)
    return sum(max_elems) + sum(min_elems)

方案三

def select_k_elements(nums, k):
    nums_len = len(nums)
    dp = [[0] * (k+1) for _ in range(nums_len+1)]
    set_min = [min(nums[:i+1]) for i in range(nums_len)]
    set_max = [max(nums[:i+1]) for i in range(nums_len)]
    for i in range(1, nums_len+1):
        for j in range(1, k+1):
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1] + max(nums[i-1], set_max[i-1]))
            dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-1] + min(nums[i-1], set_min[i-1]))
    return dp[nums_len][k]

结论

以上三种方法均可用于解决本问题，其时间复杂度分别为O(N log N)、O(NK)和O(NK)。如果要取得更高的性能，我们可以通过一些优化方法（如剪枝、缓存等）来进一步提升算法的效率。