题目介绍

本题来自于 2014 年的 GATE-CS 考试第一套试卷的第 62 题。

题目要求实现一个函数，用于在一个排好序的数组中查找目标元素第一次出现的位置。如果数组中不存在目标元素，则返回 -1。

实现思路

考虑到数组已经排好序，我们使用二分查找算法。具体来说，我们可以维护两个指针 left 和 right，分别指向数组的首尾两个元素，然后计算它们的中间位置 mid。如果 mid 位置的元素等于目标元素，那么说明目标元素第一次出现的位置一定不在 mid 的右半部分，将 right 指针移动到 mid 左端。如果 mid 位置的元素大于目标元素，那么说明目标元素第一次出现的位置一定不在 mid 的右半部分，将 right 指针移动到 mid 左端。如果 mid 位置的元素小于目标元素，则说明目标元素第一次出现的位置一定不在 mid 的左半部分，将 left 指针移动到 mid 右端。可以证明，在每次操作时，都能把查找区间的长度缩小一半。

代码实现

def find_first_occurrence(arr, target):
    """
    在排好序的数组 arr 中查找目标元素 target 第一次出现的位置。
    如果数组中不存在目标元素，则返回 -1。
    """
    left, right = 0, len(arr) - 1
    result = -1
    
    while left <= right:
        mid = (left + right) // 2
        if arr[mid] == target:
            result = mid  # 更新结果
            right = mid - 1  # 缩小查找区间到左半部分
        elif arr[mid] > target:
            right = mid - 1  # 缩小查找区间到左半部分
        else:
            left = mid + 1  # 缩小查找区间到右半部分
    
    return result

时间复杂度分析

因为每次查找都把查找区间的长度缩小一半，所以最坏情况下需要查找 $\log_2 n$ 次，其中 $n$ 是数组的长度。每次查找操作需要 $O(1)$ 的时间，因此总时间复杂度为 $O(\log n)$。