仅具有非负元素的最大和连续子数组

问题描述

给定一个整数数组，找出该数组中仅由非负整数组成的最大连续子数组，并返回它的和。

问题分析

该问题可以使用动态规划的思路进行解决。具体步骤如下：

1. 定义状态：$dp[i]$ 表示以第 $i$ 个元素结尾的最大和连续子数组的和。因为该数组仅由非负整数组成，所以 $dp[i]$ 要么是第 $i$ 个元素本身，要么是前面的最大和连续子数组加上第 $i$ 个元素的和，即 $dp[i]=\max{dp[i-1]+nums[i],nums[i]}$。

2. 初始化状态：由于 $dp[i]$ 只依赖于 $dp[i-1]$ 和 $nums[i]$，因此可以将状态数组 $dp$ 和数组 $nums$ 的第一个元素取最大值作为 $dp[0]$。

3. 状态转移：根据状态定义，可以得到状态转移方程为 $dp[i]=\max{dp[i-1]+nums[i],nums[i]}$。

4. 计算最终解：找出 $dp$ 数组中的最大值，即为所求的最大和连续子数组的和。

时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(n)$。

代码实现

以下为该算法的 Python 代码实现：

def max_sum(nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    dp = [nums[0]] + [0] * (n - 1)
    for i in range(1, n):
        dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])
    return max(dp)

总结

仅由非负整数组成的最大和连续子数组可以使用动态规划进行解决。在实现该算法时，需要定义状态、初始化状态、状态转移和计算最终解四个步骤。算法的时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(n)$。