具有不同值的连续元素的数组计数

给定三个正整数n 、 k和x 。任务是计算可以形成大小为 n 的不同数组的数量，以便每个元素在 1 到 k 之间，并且两个连续元素不同。此外，每个数组的第一个和最后一个元素应分别为 1 和 x。

例子 ：

Input : n = 4, k = 3, x = 2
Output : 3

这个想法是使用动态规划和组合来解决问题。
首先，请注意从 2 到 k 的所有 x 的答案都是相同的。可以很容易地证明。这将在以后有用。
让状态 f(i) 表示填充数组 A 的范围 [1, i] 的方法数，使得 A ₁ = 1 且 A _i ≠ 1。
因此，如果 x ≠ 1，则问题的答案是 f(n)/(k – 1)，因为 f(n) 是 A _n用 2 到 k 之间的数字填充的方式数，而答案是对于所有这样的值 A _n都相等，因此单个值的答案是 f(n)/(k – 1)。
否则，如果 x = 1，则答案为 f(n – 1)，因为 A _{n – 1} ≠ 1，我们可以用 x = 1 填充 A _n的唯一数字。

现在，主要问题是如何计算 f(i)。考虑 A _{i – 1}可以是的所有数字。我们知道它一定在 [1, k] 中。

• 如果 A _{i – 1} ≠ 1，则有 (k – 2)f(i – 1) 种方法可以填充数组的其余部分，因为 A _i不可能是 1 或 A _{i – 1} (所以我们乘以 (k – 2))，并且对于范围 [1, i – 1]，递归地有 f(i – 1) 种方式。
• 如果 A _{i – 1} = 1，则有 (k – 1)f(i – 2) 种方法来填充数组的其余部分，因为 A _{i – 1} = 1 意味着 A _{i – 2} ≠ 1 这意味着有f(i – 2) 种方法来填充范围 [1, i – 2] 以及 A _i不能为 1 的唯一值，因此我们有 (k – 1) 种 A _i选择。

结合以上，我们得到

f(i) = (k - 1) * f(i - 2) + (k - 2) * f(i - 1)

这将有助于我们使用 f(i) 进行动态规划。

下面是这个方法的实现：

C++

// CPP Program to find count of arrays.
#include 
#define MAXN 109
using namespace std;
 
// Return the number of arrays with given constartints.
int countarray(int n, int k, int x)
{
    int dp[MAXN] = { 0 };
 
    // Initialising dp[0] and dp[1].
    dp[0] = 0;
    dp[1] = 1;
 
    // Computing f(i) for each 2 <= i <= n.
    for (int i = 2; i < n; i++)
        dp[i] = (k - 2) * dp[i - 1] +
                (k - 1) * dp[i - 2];
 
    return (x == 1 ? (k - 1) * dp[n - 2] : dp[n - 1]);
}
 
// Driven Program
int main()
{
    int n = 4, k = 3, x = 2;
    cout << countarray(n, k, x) << endl;
    return 0;
}

Java

// Java program to find count of arrays.
import java.util.*;
 
class Counting
{
    static int MAXN = 109;
 
    public static int countarray(int n, int k,
                                       int x)
    {
        int[] dp = new int[109];
 
        // Initialising dp[0] and dp[1].
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
 
        // Computing f(i) for each 2 <= i <= n.
        for (int i = 2; i < n; i++)
            dp[i] = (k - 2) * dp[i - 1] +
                (k - 1) * dp[i - 2];
 
        return (x == 1 ? (k - 1) * dp[n - 2] :
                                  dp[n - 1]);
    }
     
    // driver code
    public static void main(String[] args)
    {
        int n = 4, k = 3, x = 2;
        System.out.println(countarray(n, k, x));
    }
}
 
 
// This code is contributed by rishabh_jain

Python3

# Python3 code to find count of arrays.
 
# Return the number of lists with
# given constraints.
def countarray( n , k , x ):
     
    dp = list()
     
    # Initialising dp[0] and dp[1]
    dp.append(0)
    dp.append(1)
     
    # Computing f(i) for each 2 <= i <= n.
    i = 2
    while i < n:
        dp.append( (k - 2) * dp[i - 1] +
                   (k - 1) * dp[i - 2])
        i = i + 1
     
    return ( (k - 1) * dp[n - 2] if x == 1 else dp[n - 1])
 
# Driven code
n = 4
k = 3
x = 2
print(countarray(n, k, x))
 
# This code is contributed by "Sharad_Bhardwaj".

C#

// C# program to find count of arrays.
using System;
 
class GFG
{
// static int MAXN = 109;
 
    public static int countarray(int n, int k,
                                    int x)
    {
        int[] dp = new int[109];
 
        // Initialising dp[0] and dp[1].
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
 
        // Computing f(i) for each 2 <= i <= n.
        for (int i = 2; i < n; i++)
            dp[i] = (k - 2) * dp[i - 1] +
                    (k - 1) * dp[i - 2];
 
        return (x == 1 ? (k - 1) * dp[n - 2] :
                                   dp[n - 1]);
    }
     
    // Driver code
    public static void Main()
    {
        int n = 4, k = 3, x = 2;
        Console.WriteLine(countarray(n, k, x));
    }
}
 
 
// This code is contributed by vt_m

Javascript

 
// Javascript program to find count of arrays.
let MAXN = 109;
   
function countarray(n, k, x)
{
    let dp = [];
 
    // Initialising dp[0] and dp[1].
    dp[0] = 0;
    dp[1] = 1;
 
    // Computing f(i) for each 2 <= i <= n.
    for(let i = 2; i < n; i++)
        dp[i] = (k - 2) * dp[i - 1] +
                (k - 1) * dp[i - 2];
 
    return (x == 1 ? (k - 1) * dp[n - 2] :
                               dp[n - 1]);
}
 
// Driver code
let n = 4, k = 3, x = 2;
 
document.write(countarray(n, k, x));
 
// This code is contributed by sanjoy_62
 

输出 ：

3

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