ML | 线性回归中的正规方程

线性回归是机器学习中最常用的算法之一，它用于建立输入变量和输出变量之间的线性关系。在最简单的情况下，这种关系被建立为一条直线，称为回归线。正规方程是用于找到回归线的一种数学方法。在本文中，我们将学习什么是正规方程，它如何工作以及如何实现它。

正规方程是什么？

正规方程是一种通过求解最小二乘法问题来找到回归系数的解析方法。在最简单的情况下，线性回归模型由下式表示：

$$y = \beta_0 + \beta_1x_1 + \cdots + \beta_nx_n$$

其中 $y$ 表示输出变量，$x_i$ 表示第 $i$ 个输入变量，$\beta_i$ 是回归系数。

最小化最小二乘法问题的解析解可以表示为：

$$\hat{\beta} = (X^TX)^{-1}X^Ty$$

其中，$\hat{\beta}$ 是回归系数向量，$X$ 是输入变量矩阵，$y$ 是输出变量向量。

正规方程如何工作？

正规方程使用最小二乘法解决回归问题的解析解。最小二乘法是一种优化方法，它可以找到使残差平方和最小的回归系数。在此过程中，残差平方和是输出变量（实际值）与预测值之间的差的平方和。

在方程 $\hat{\beta} = (X^TX)^{-1}X^Ty$ 中，我们首先计算$X^TX$ 和 $X^Ty$， 然后可以使用这些计算结果来计算回归系数。

实现正规方程

使用Python可以轻松地实现正规方程。

import numpy as np

class LinearRegression:
    def __init__(self):
        self.coef_ = None

    def fit(self, X, y):
        # Add column of ones for bias term
        X = np.hstack((np.ones((X.shape[0],1)), X))

        # Compute coefficients using normal equation
        XtX = np.dot(X.T, X)
        XtX_inv = np.linalg.inv(XtX)
        XtY = np.dot(X.T, y)
        self.coef_ = np.dot(XtX_inv, XtY)

    def predict(self, X):
        # Add column of ones for bias term
        X = np.hstack((np.ones((X.shape[0],1)), X))

        # Predict target variable
        y_pred = np.dot(X, self.coef_)
        return y_pred

通过实现这个类，我们可以使用正规方程来训练线性回归模型。

总结

正规方程是一种求解回归系数的解析方法，可以在没有任何参数的情况下获得模型的参数。虽然正规方程在小数据集上具有优异的性能，但在大数据集上，通常需要使用迭代方法来优化回归系数。但是，了解正规方程的实现方法可以帮助我们更好地理解线性回归模型。