📌  相关文章
📜  回归算法-线性回归

📅  最后修改于: 2020-12-10 05:39:02             🧑  作者: Mango

线性回归简介

线性回归可以定义为统计模型，用于分析因变量与给定的一组自变量之间的线性关系。变量之间的线性关系意味着，当一个或多个自变量的值更改(增加或减少)时，因变量的值也将相应更改(增加或减少)。

数学上的关系可以借助以下方程式来表示-

Y = mX + b

在这里，Y是我们试图预测的因变量

X是我们用来进行预测的因变量。

m是回归线的斜率，代表X对Y的影响

b是一个常数，称为Y截距。如果X = 0，则Y等于b。

此外，线性关系本质上可以是正或负，如下所述-

正线性关系

如果自变量和因变量都增加，则线性关系称为正。下图可以帮助理解-

正线性

负线性关系

如果自增和因变量减小，则线性关系将称为正。下图可以帮助理解-

负线性

线性回归的类型

线性回归具有以下两种类型-

  • 简单线性回归
  • 多元线性回归

简单线性回归(SLR)

它是线性回归的最基本版本，可使用单个功能预测响应。 SLR中的假设是两个变量线性相关。

Python实现

我们可以通过两种方式在Python中实现SLR，一种是提供自己的数据集，另一种是使用scikit-learn Python库中的数据集。

示例1-在下面的Python实现示例中，我们使用自己的数据集。

首先，我们将从导入必要的包开始，如下所示：

%matplotlib inline
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

接下来，定义一个函数，该函数将计算SLR的重要值-

def coef_estimation(x, y):

以下脚本行将给出观察值n-

n = np.size(x)

x和y向量的均值可以计算如下-

m_x, m_y = np.mean(x), np.mean(y)

我们可以找到关于x的交叉偏差和偏差，如下所示：

SS_xy = np.sum(y*x) - n*m_y*m_x
SS_xx = np.sum(x*x) - n*m_x*m_x

接下来，回归系数即b可以如下计算：

b_1 = SS_xy / SS_xx
b_0 = m_y - b_1*m_x
return(b_0, b_1)

接下来，我们需要定义一个函数，该函数将绘制回归线以及预测响应向量-

def plot_regression_line(x, y, b):

以下脚本行将实际点绘制为散点图-

plt.scatter(x, y, color = "m", marker = "o", s = 30)

以下脚本行将预测响应向量-

y_pred = b[0] + b[1]*x

以下脚本行将绘制回归线并在其上放置标签-

plt.plot(x, y_pred, color = "g")
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()

最后，我们需要定义main()函数以提供数据集并调用上面定义的函数-

def main():
   x = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])
   y = np.array([100, 300, 350, 500, 750, 800, 850, 900, 1050, 1250])
   b = coef_estimation(x, y)
   print("Estimated coefficients:\nb_0 = {} \nb_1 = {}".format(b[0], b[1]))
   plot_regression_line(x, y, b)
   
if __name__ == "__main__":
main()

输出

Estimated coefficients:
b_0 = 154.5454545454545
b_1 = 117.87878787878788

数据集

示例2-在以下Python实现示例中，我们使用scikit-learn的糖尿病数据集。

首先，我们将从导入必要的包开始，如下所示：

%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from sklearn import datasets, linear_model
from sklearn.metrics import mean_squared_error, r2_score

接下来，我们将加载糖尿病数据集并创建其对象-

diabetes = datasets.load_diabetes()

在实现SLR时，我们将仅使用一种功能，如下所示-

X = diabetes.data[:, np.newaxis, 2]

接下来，我们需要将数据分为以下训练集和测试集：

X_train = X[:-30]
X_test = X[-30:]

接下来，我们需要将目标分为训练集和测试集，如下所示：

y_train = diabetes.target[:-30]
y_test = diabetes.target[-30:]

现在，要训练模型，我们需要创建线性回归对象，如下所示：

regr = linear_model.LinearRegression()

接下来，使用以下训练集训练模型：

regr.fit(X_train, y_train)

接下来，使用测试集进行预测，如下所示：

y_pred = regr.predict(X_test)

接下来，我们将打印一些系数，例如MSE，方差得分等，如下所示-

print('Coefficients: \n', regr.coef_)
print("Mean squared error: %.2f" % mean_squared_error(y_test, y_pred))
print('Variance score: %.2f' % r2_score(y_test, y_pred))

现在，绘制输出，如下所示：

plt.scatter(X_test, y_test, color='blue')
plt.plot(X_test, y_pred, color='red', linewidth=3)
plt.xticks(())
plt.yticks(())
plt.show()

输出

Coefficients:
   [941.43097333]
Mean squared error: 3035.06
Variance score: 0.41

红蓝

多元线性回归(MLR)

简单线性回归的扩展是使用两个或多个功能预测响应的方法。数学上，我们可以解释如下-

考虑具有n个观测值，p个特征(即自变量)和y作为一个响应(即因变量)的数据集，p个特征的回归线可以如下计算：

$$ h(x_ {i})= b_ {0} + b_ {1} x_ {i1} + b_ {2} x_ {i2} + … + b_ {p} x_ {ip} $$

在此，h(x i )是预测响应值，b 0 ，b 1 ，b 2 …，b p是回归系数。

多个线性回归模型始终将数据中的误差称为残留误差，该误差会按以下方式更改计算：

$$ h(x_ {i})= b_ {0} + b_ {1} x_ {i1} + b_ {2} x_ {i2} + … + b_ {p} x_ {ip} + e_ {i} $$

我们还可以将上面的等式写成如下-

$$ y_ {i} = h(x_ {i})+ e_ {i} \：or \：e_ {i} = y_ {i}-h(x_ {i})$$

Python实现

在此示例中，我们将使用来自scikit learning的Boston住房数据集-

首先，我们将从导入必要的包开始，如下所示：

%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from sklearn import datasets, linear_model, metrics

接下来，按如下方式加载数据集：

boston = datasets.load_boston(return_X_y=False)

以下脚本行将定义特征矩阵X和响应向量Y-

X = boston.data
y = boston.target

接下来，将数据集分为训练集和测试集，如下所示：

from sklearn.model_selection import train_test_split
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.7, random_state=1)

例

现在，创建线性回归对象并按如下所示训练模型-

reg = linear_model.LinearRegression()
reg.fit(X_train, y_train)
print('Coefficients: \n', reg.coef_)
print('Variance score: {}'.format(reg.score(X_test, y_test)))
plt.style.use('fivethirtyeight')
plt.scatter(reg.predict(X_train), reg.predict(X_train) - y_train,
   color = "green", s = 10, label = 'Train data')
plt.scatter(reg.predict(X_test), reg.predict(X_test) - y_test,
   color = "blue", s = 10, label = 'Test data')
plt.hlines(y = 0, xmin = 0, xmax = 50, linewidth = 2)
plt.legend(loc = 'upper right')
plt.title("Residual errors")
plt.show()

输出

Coefficients:
[
   -1.16358797e-01  6.44549228e-02  1.65416147e-01  1.45101654e+00
   -1.77862563e+01  2.80392779e+00  4.61905315e-02 -1.13518865e+00
    3.31725870e-01 -1.01196059e-02 -9.94812678e-01  9.18522056e-03
   -7.92395217e-01
]
Variance score: 0.709454060230326

点

假设条件

以下是关于由线性回归模型建立的数据集的一些假设-

多重共线性-线性回归模型假设数据中很少或没有多重共线性。基本上，当自变量或要素具有相关性时，就会发生多重共线性。

自相关-另一个假设是线性回归模型所假设的是，数据中几乎没有自相关。基本上，当残差之间存在依赖性时，就会发生自相关。

变量之间的关系-线性回归模型假定响应变量和特征变量之间的关系必须是线性的。