题目描述

给定一个长度为N的01串S，可以进行一次操作，将其中一个0翻转成1，保证该操作后S中仍然有至少两个1。 要求在此操作后，使得任意两个相邻的1之间的距离尽可能大，求能够达到的最大距离。

解题思路

首先，在进行操作前，我们需要先处理出原序列中相邻两个1之间的距离（包括左右两边的0）。例如，对于序列“0011010001”来说，相邻两个1之间的距离依次为 0 2 1 2 2 2 2 1 0。

接下来我们可以考虑如何进行一次操作来使得最终的距离尽可能大。设$dist_i$表示原序列中第$i$个1前面的0与第$i-1$个1后面的0之间的距离（即第$i$个1的左端点与第$i-1$个1右端点之间的距离），$dist_{i+1}$表示原序列中第$i$个1后面的0与第$i+1$个1前面的0之间的距离，那么一次操作可以将$dist_i+dist_{i+1}$缩短为$dist_i+dist_{i+1}-1$，即将两个相邻的1之间的距离加1。

上述方法可以保证每次操作将两个相邻的1之间的距离增加1，因此进行若干次操作就可以使得任意两个相邻的1之间的距离尽可能大。

代码实现

def max_distance(n, s):
    # 处理原序列中相邻两个1之间的距离
    dist = []
    prev_one_index = -1
    for i in range(n):
        if s[i] == "1":
            if prev_one_index >= 0:
                dist.append(i - prev_one_index - 1)
            prev_one_index = i
    # 进行一次操作，将相邻两个1之间的距离增加1
    if len(dist) >= 2:
        max_dist = max(dist[i] + dist[i+1] for i in range(len(dist)-1))
        ans = sum(dist) + max_dist
    else:
        ans = len(s) - 1
    return ans

复杂度分析

我们需要遍历整个序列并处理出相邻两个1之间的距离，时间复杂度$O(n)$。一次操作可以将一个$dist_i$与一个$dist_{i+1}$减1，而$dist_i$最多只能减小至$1$，因此我们至多可以进行$n$次操作。因此总时间复杂度为$O(n)$。