最大化树的任意两个顶点之间的度的乘积之和

介绍

在一颗树中，任意两个顶点之间的度的乘积之和可以用以下公式计算：

$$ \sum_{u,v} deg(u)\cdot deg(v) $$

其中 $u$ 和 $v$ 是树中的两个顶点，$deg(u)$ 和 $deg(v)$ 分别表示 $u$ 和 $v$ 的度数。

我们的目标是找到一个最大度数和的树，使上述公式的结果最大。

解决方案

贪心算法

我们可以使用贪心算法来解决这个问题。考虑一个树中的最大度数。这个度数可以由一个叶子节点和其父节点组成。如果将叶子节点和其父节点合并成一个较大的节点，树的大小会减少 $1$，但是这个新节点的度数会等于原来两个节点的度数之和。因此，我们可以不断地合并叶子节点和其父节点，直到只剩下一个节点。这个节点的度数就是求解的最大值。

这个方法的时间复杂度是 $O(n \log n)$，其中 $n$ 是树的节点数。因为我们在合并节点时需要遍历每一个节点并计算度数之和，这需要在节点被合并之前保证度数的正确性。因为树中有 $n-1$ 条边，所以我们最多需要进行 $n-1$ 次合并操作。每个合并操作需要 $O(\log n)$ 的时间来找到两个节点，因此总时间复杂度是 $O(n \log n)$。

动态规划算法

我们可以使用动态规划算法来解决这个问题。我们定义 $f(u,v)$ 为树上以 $u$ 和 $v$ 为根的子树中任意两个节点的度数乘积之和。我们可以使用以下递推式来计算 $f(u,v)$：

$$ f(u,v) = \sum_{w \in children(u)} \sum_{x \in children(v)} (1 + deg(w))\cdot (1 + deg(x))\cdot f(w,x) $$

其中 $children(u)$ 和 $children(v)$ 分别表示节点 $u$ 和 $v$ 的子节点集合，$deg(u)$ 和 $deg(v)$ 分别表示节点 $u$ 和 $v$ 的度数。

最终的结果是 $f(root,root)$，其中 $root$ 是树的根节点。

这个算法的时间复杂度是 $O(n^3)$，因为我们需要遍历每一对节点并计算其乘积，这需要 $O(n^2)$ 的时间。总共需要进行 $n$ 次递推操作，每次递推操作需要 $O(n)$ 的时间计算子树内节点的度数和，因此总时间复杂度是 $O(n^3)$。

总结

在本文中，我们介绍了如何最大化树的任意两个顶点之间的度的乘积之和。我们提出了两种算法：一种是贪心算法，另一种是动态规划算法。这两种算法各有优缺点，可以根据实际情况选择相应的算法。