题目介绍

给定一个长度为N的整数数组nums以及一个整数K，找到满足下列条件的不同二元组(i, j)的数量：

1. 0 <= i < j < N
2. (nums[i] AND nums[j]) + (nums[i] XOR nums[j]) = 2 * K

其中AND表示按位与运算，XOR表示按位异或运算。

解题思路

我们可以枚举所有的二元组(i, j)，然后判断是否满足条件，并记录满足条件的二元组数目。但是，这种暴力枚举的时间复杂度是O(N^2)，不能满足题目要求，因此需要优化算法。

首先，根据位运算的性质，我们知道，nums[i] AND nums[j] <= nums[i]，nums[i] AND nums[j] <= nums[j]，因此可以将AND和XOR拆开来看。

将原式拆开：

(nums[i] AND nums[j]) + (nums[i] XOR nums[j]) = 2 * K

等价于：

nums[i] AND nums[j] = 2 * K - nums[i] XOR nums[j]

接下来，我们可以枚举i，然后根据上式计算nums[i] AND nums[j]的值，设该值为x，如果x <= nums[i]，则说明满足条件，此时可以用哈希表记录x出现的次数，然后枚举j，计算nums[i] XOR nums[j]的值，设该值为y，如果2 * K - y的值在哈希表中出现过，则说明满足条件，此时将x出现的次数乘上2 * K - y出现的次数，并累加到最终答案中。

这种时间复杂度为O(N)的算法可以通过该题。

代码实现

def count_pairs(nums, K):
    cnt = 0
    xor_cnt = collections.defaultdict(int)
    for i in range(len(nums)):
        x = nums[i] & (-nums[i])
        if x <= nums[i] and 2 * K - nums[i] in xor_cnt:
            cnt += xor_cnt[2 * K - nums[i]]
        xor_cnt[xor_cnt ^ nums[i]] += 1
    return cnt

需要注意的是，为了找到nums[i]的二进制表示中最低位的1，我们可以使用x = nums[i] & (-nums[i])这个小技巧，其实就是将最低位的1保留，其余位置为0。