计算非N周期的不同规则括号序列

介绍

在计算机科学中，规则括号序列是由括号字符组成的序列，其满足以下条件：

• 序列中的每个左括号都有一个对应的右括号。
• 对于每个右括号，它的位置必须与与其对应的左括号的位置相同或更靠左。
• 对于任意一对相邻的左、右括号，它们的类型必须相同且左括号在右括号之前。

例如，"(()())"是一个规则括号序列，而"())("不是。

本篇文章将介绍如何计算非N周期的不同规则括号序列。

方法

我们可以使用动态规划的方法来解决这个问题。我们定义f(n)为以n个括号构成的规则括号序列的数量，那么有以下结论：

• 当n=0时，f(n)=1。
• 当n=1时，f(n)=1。
• 当n>1时，假设第一个左括号与其对应的右括号的位置为i+1和j+1，则有f(n)=sum(f(i)f(n-i-1))，其中sum为从i=0到i=n-1的求和。

这个结论的证明可以使用数学归纳法，略去。

我们可以使用一个数组保存前N个规则括号序列的个数。

def count_brackets(n: int) -> int:
    f = [0] * (n + 1)
    f[0] = 1
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(i):
            f[i] += f[j] * f[i - j - 1]
    return f[n]

这个算法的时间复杂度为$O(n^2)$，空间复杂度为$O(n)$。

结论

我们可以使用上述算法来计算非N周期的不同规则括号序列的数量。使用动态规划的方法，时间复杂度为$O(n^2)$，空间复杂度为$O(n)$。