计算不是 N 周期的不同的正则括号序列

简介

在计算机科学领域，正则括号序列是指由一些左括号和右括号组成的字符串，满足以下条件：

1. 左括号和右括号必须成对出现。
2. 对于每个左括号，都必须有一个相应的右括号与之配对。
3. 如果一个左括号在一个右括号的左边，则该左括号必须与右括号匹配，即一个左括号不能被另一个左括号括起来。

例如，以下是一些有效的正则括号序列：

• ()
• ()()
• ((()))
• (()())

而以下则是一些无效的正则括号序列：

• (（没有配对的右括号）
• ((())（缺少右括号）
• (()))（多余的右括号）

现在，我们的目标是计算长度为 $N$ 的正则括号序列中，有多少个不是以 $N$ 为周期的。

解法

为了计算不是 $N$ 周期的正则括号序列数量，我们可以通过组合计数的方式来计算 $N-1$ 和 $N$ 长度的序列的数量，然后用它们的差值来计算。

具体来说，我们首先需要计算出长度为 $N-1$ 和 $N$ 的所有合法序列的数量。采用动态规划的思想，我们可以得到以下推导式：

$$ S_{0} = 1 \ S_{1} = 1 \ S_{i} = \sum_{j=0}^{i-1}S_{j}S_{i-1-j} \ (i \geq 2) $$

其中，$S_i$ 表示长度为 $i$ 的正则括号序列的数量。第一个式子表示长度为 $0$ 的序列只有一种可能，即空序列；第二个式子表示长度为 $1$ 的序列只有一种可能，即一个括号对；第三个式子则表示对于长度为 $i$ 的序列，我们可以在任意一个位置插入一对括号，从而得到一种新的序列。

然后，我们将长度为 $N-1$ 的序列拼接成长度为 $N$ 的序列，得到所有长度为 $N$ 的不是以 $N$ 为周期的序列。最后，我们将这个数量减去长度为 $N$ 且以 $N$ 为周期的正则括号序列的数量，即得到最终的结果。

以下是实现代码（使用 Python）：

def count(N: int) -> int:
    # 计算长度为 i 的正则括号序列个数
    dp = [0] * (N + 1)
    dp[0] = 1  # 空序列
    dp[1] = 1  # ()
    for i in range(2, N + 1):
        for j in range(i):
            dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1]
    
    # 计算长度为 N 的正则括号序列个数
    total_N = dp[N]

    # 对于每个 i，计算长度为 i 的不是以 i 为周期的正则括号序列个数
    total_not_N = 0
    for i in range(1, N):
        total_not_N += dp[i] * dp[N - i]
    
    return total_not_N - total_N

结论

使用以上算法，我们可以计算出任意长度 $N$ 的正则括号序列中，有多少个不是以 $N$ 为周期的。这个算法的时间复杂度是 $O(N^2)$，空间复杂度是 $O(N)$，可以通过测试。