从矩阵左上角到右下角并返回的最大点

在给定的矩阵中，从左上角出发，只能向下或向右移动，最终到达矩阵右下角，并返回最大值。这是一种常见的动态规划问题。

解法

假设我们有一个 m x n 的矩阵 matrix，用 dp[i][j] 表示从 (0,0) 出发到达 (i,j) 并返回的最大值。

那么，我们可以根据 dp 数组的定义，得到递推公式：

dp[i][j] = matrix[i][j] + max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])

其中，matrix[i][j] 表示当前位置的值，dp[i-1][j] 表示从上方到达 (i,j) 的最大值，dp[i][j-1] 表示从左方到达 (i,j) 的最大值。

最终的答案就是 dp[m-1][n-1]。

代码实现

这里给出一个 Python 的实现：

def max_path(matrix):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    dp = [[0] * n for _ in range(m)]
    dp[0][0] = matrix[0][0]
    
    for i in range(1, m):
        dp[i][0] = dp[i-1][0] + matrix[i][0]
    for j in range(1, n):
        dp[0][j] = dp[0][j-1] + matrix[0][j]
        
    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            dp[i][j] = matrix[i][j] + max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
            
    return dp[m-1][n-1]

这个实现是比较基础的，时间复杂度为 $O(mn)$。在实际应用中，可能需要进行一些优化。