📅 最后修改于: 2023-12-03 15:36:20.457000 🧑 作者: Mango
本问题要求找出对于给定的 $n \times m$ 矩阵，从左上角到右下角单元格的路径中所有数的异或和的最大值。其中矩阵中每个单元格都包含一个非负整数。
此问题可以通过动态规划或使用字典树等数据结构来解决。
定义 $dp[i][j]$ 表示从左上角到第 $i$ 行第 $j$ 列单元格的路径中所有数的异或和的最大值。那么最终答案即为 $dp[n][m]$。
对于每个状态 $dp[i][j]$，它可以由上一个状态 $dp[i-1][j]$ 或 $dp[i][j-1]$ 转移而来：
$$ dp[i][j] = \max{dp[i-1][j] \operatorname{xor} A[i][j], dp[i][j-1] \operatorname{xor} A[i][j]} $$
其中 $A[i][j]$ 表示矩阵中第 $i$ 行第 $j$ 列单元格的数值。
边界条件为 $dp[1][1] = A[1][1]$。
最终时间复杂度为 $O(nm)$。
我们可以将所有行看作一个二进制数，然后将所有的二进制数放到一个字典树中。对于字典树中的每个叶节点，它对应一个矩阵中的单元格，其值为该单元格所在的行的二进制数。
那么对于任意一条从左上角到右下角的路径，其路径异或和即为从根节点开始，沿着该路径依次经过的叶节点对应的值的异或和。
因此，我们可以在字典树上搜索路径，并在搜索的过程中同时求出路径异或和的最大值。
具体地，对于第 $i$ 行第 $j$ 列单元格，我们可以先将该单元格所在的行的二进制数插入到字典树中，然后搜索从根节点到当前单元格的路径中路径异或和的最大值。
需要注意的是，在字典树中搜索路径时，并不需要将每一位上的值全部计算出来。对于当前要搜索的位，我们可以先判断该位上应该是 0 还是 1，然后只搜索对应的子节点即可。
最终时间复杂度为 $O(nm \log m)$。