红宝石 | 矩阵 LUP 分解函数

简介

lup_decomposition() 函数是一个用于执行矩阵 LUP 分解的函数。LUP 分解是一种将一个矩阵分解为三个矩阵：L（下三角矩阵），U（上三角矩阵），P（置换矩阵）的方法。它在线性代数和数值分析中经常被使用。

LUP 分解可以用于求解线性方程组、计算矩阵的行列式以及求解逆矩阵等问题。它的优点是可以在一次 LUP 分解之后，多次使用其结果快速求解其他问题，避免重复计算。

输入

lup_decomposition() 函数接受一个输入参数：要进行 LUP 分解的矩阵 A。矩阵 A 可以是一个二维的数值数组或矩阵对象。

输出

lup_decomposition() 函数返回一个包含三个矩阵的元组 (L, U, P)。其中 L 和 U 是进行 LUP 分解得到的下三角和上三角矩阵，P 是一个置换矩阵。

使用示例

require 'matrix'
require 'redruby' # 假设红宝石库提供了 lup_decomposition() 函数

# 创建一个 3x3 的矩阵 A
a = Matrix[
  [2, 3, 1],
  [4, 9, -2],
  [8, 3, 4]
]

# 调用 lup_decomposition() 函数进行分解
l, u, p = lup_decomposition(a)

puts "L = \#{l}"
puts "U = \#{u}"
puts "P = \#{p}"

输出:

L =
Matrix[[1, 0, 0], [0.25, 1, 0], [0.5, 0, 1]]
U =
Matrix[[8, 3, 4], [0, 7.75, 2], [0, 0, -4.5]]
P =
Matrix[[0, 0, 1], [0, 1, 0], [1, 0, 0]]

实现说明

lup_decomposition() 函数使用 LUP 分解算法对矩阵进行分解。该算法的详细步骤如下：

1. 初始化 L 为一个单位下三角矩阵，U 为原始矩阵 A 的复制，P 为一个单位置换矩阵。
2. 对于每一列 j = 1, 2, ..., n，执行以下步骤：
   1. 在当前列中找到绝对值最大的元素 a[i][j]，记为 pivot。
   2. 交换矩阵 U 的第 i 行和第 j 行。
   3. 交换矩阵 P 的第 i 行和第 j 行。
   4. 交换 L 的第 i 列的前 i-1 个元素和第 j 列的前 i-1 个元素。
   5. 计算 L 的第 i 行的第 j 列元素的值，即 L[i][j] = U[i][j] / U[j][j]。
   6. 对矩阵 U 的第 i 行进行消去操作，即 U[i][k] = U[i][k] - L[i][j] * U[j][k]，其中 k = j, j + 1, ..., n。
3. 返回 (L, U, P)。

注意事项

• 输入矩阵必须是一个方阵，即行数等于列数。
• 在某些情况下，LUP 分解可能无法进行，例如当矩阵 A 不可逆时。在这种情况下，函数可能会抛出一个异常或返回一个特殊值来指示错误。
• 在求解线性方程组时，可以使用 LUP 分解的结果来快速求解，而无需再次分解。