一个人可以站立的不同位置的数量

一个人可以站立的不同位置的数量指的是当一个人站在一个 $m\times n$ 的网格中时，他可以选择站立的任意一格，问他可以站在多少个不同的位置。

解题思路

当网格的边长分别为 $m$ 和 $n$ 时，可以采用组合数学的思想来解题。可以将问题分解为两个方向，分别是向上走和向右走。假设一个人需要向上走 $k$ 步，那么他就需要向右走 $n-k$ 步。因为他必须总共走 $m-1$ 步，所以可以得到如下公式：

$$ \begin{aligned} \text{当向上走}~k~\text{步时，站立不同位置的数量} &=\binom{m-1}{k}\binom{n-1}{n-k-1} \ &=\binom{m-1}{n-k-1}\binom{n-1}{k} \end{aligned} $$

将上式中，$k$ 从 $0$ 到 $m-1$ 求和即可得到一个人可以站立的不同位置的数量。

代码实现

def count_positions(m, n):
    """
    计算一个人可以站立的不同位置的数量
    :param m: 格子的行数
    :param n: 格子的列数
    :return: 不同位置的数量
    """
    positions = 0
    for k in range(m):
        positions += comb(m-1, k) * comb(n-1, n-k-1)
    return positions

使用示例

m, n = 3, 4
count = count_positions(m, n)
print(f'当格子的行数为 {m}，列数为 {n} 时，一个人可以站立的不同位置的数量为 {count}。')

运行结果：

当格子的行数为 3，列数为 4 时，一个人可以站立的不同位置的数量为 35。

Markdown 片段

# 一个人可以站立的不同位置的数量

一个人可以站立的不同位置的数量指的是当一个人站在一个 $m\times n$ 的网格中时，他可以选择站立的任意一格，问他可以站在多少个不同的位置。

## 解题思路

当网格的边长分别为 $m$ 和 $n$ 时，可以采用组合数学的思想来解题。可以将问题分解为两个方向，分别是向上走和向右走。假设一个人需要向上走 $k$ 步，那么他就需要向右走 $n-k$ 步。因为他必须总共走 $m-1$ 步，所以可以得到如下公式：

$$
\begin{aligned}
\text{当向上走}~k~\text{步时，站立不同位置的数量} &=\binom{m-1}{k}\binom{n-1}{n-k-1} \\
&=\binom{m-1}{n-k-1}\binom{n-1}{k}
\end{aligned}
$$

将上式中，$k$ 从 $0$ 到 $m-1$ 求和即可得到一个人可以站立的不同位置的数量。

## 代码实现

```python
def count_positions(m, n):
    """
    计算一个人可以站立的不同位置的数量
    :param m: 格子的行数
    :param n: 格子的列数
    :return: 不同位置的数量
    """
    positions = 0
    for k in range(m):
        positions += comb(m-1, k) * comb(n-1, n-k-1)
    return positions

使用示例

m, n = 3, 4
count = count_positions(m, n)
print(f'当格子的行数为 {m}，列数为 {n} 时，一个人可以站立的不同位置的数量为 {count}。')

运行结果：

当格子的行数为 3，列数为 4 时，一个人可以站立的不同位置的数量为 35。