Kruskal的最小生成树算法

Kruskal的最小生成树算法是一种用于构建最小生成树的贪心算法。在一个连接了所有顶点的加权无向图中，找到连接所有顶点的最小总权值边的算法被称为最小生成树算法。

Kruskal算法的基本思想是维护一个可行的边集合，然后逐步的将图中的边加入到集合中，直到生成树的边数达到 $n-1$ 个或所有边都已加入集合为止。

算法步骤

1. 对边集合按权值从小到大进行排序；
2. 初始化集合 $S$ 为空；
3. 从边集合中选取一条权值最小的边 $e$；
4. 如果将 $e$ 加入 $S$ 后不会出现环，则将 $e$ 加入 $S$；
5. 重复步骤3-4，直到生成树的边数达到 $n-1$ 个。

代码实现

以下是Kruskal算法的Python 代码实现：

class DisjointSet:
    def __init__(self, n):
        self.parents = [i for i in range(n)]

    def union(self, x, y):
        self.parents[self.find(x)] = self.find(y)

    def find(self, x):
        if self.parents[x] == x:
            return x
        return self.find(self.parents[x])

    def is_connected(self, x, y):
        return self.find(x) == self.find(y)

def kruskal(n, edges):
    edges.sort(key=lambda x: x[2])
    ds = DisjointSet(n)
    ans = []
    for u, v, w in edges:
        if not ds.is_connected(u, v):
            ds.union(u, v)
            ans.append((u, v, w))
            if len(ans) == n-1:
                break
    return ans

算法分析

Kruskal算法的时间复杂度为 $O(m\log m)$，其中 $m$ 为边数。排序算法需要 $O(m\log m)$ 的时间，Disjoint Set 可以通过路径压缩和按秩合并优化到 $O(\alpha(m))$，其中 $\alpha$ 是 Ackermann 函数的反函数，考虑到 $\alpha(m)$ 的增长极其缓慢，可以近似认为是常数级别的时间复杂度，因此算法总的时间复杂度为 $O(m\log m)$。

总结

Kruskal算法是一种高效的求解最小生成树的算法，其核心思想是维护一个可行的边集合，然后逐步的将图中的边加入到集合中，直到生成树的边数达到 $n-1$ 个或所有边都已加入集合为止。其时间复杂度为 $O(m\log m)$，适用于边数较多的图。