以字符串表示的大量数字的模幂

在进行数值计算时，很多情况下需要对数字进行模幂运算。如果数字本身很大，使用内置的数据类型（如int或double）就会面临数值溢出的问题。因此，我们往往需要使用字符串来表示这些大量数字，并进行模幂运算。

问题描述

给定三个字符串a、b、c，表示三个非负整数，计算a^b mod c。其中，a、b、c的长度均不超过10^6。

解决方案

对于较小的数字，我们可以使用内置数据类型和算术运算符完成模幂运算。但当数字非常大时，我们需要使用更高效的算法。

常见的算法有二分法、快速幂算法等。这里我们介绍快速幂算法。快速幂算法的基本思想是将指数b转化为二进制形式，并利用乘方运算符的结合律通过递归的方式进行计算。

具体实现如下：

// 快速幂算法
string fast_pow(string a, string b, string c) {
    // 计算ab mod c
    int len_b = b.length();
    int r = 1;
    for (int i = len_b - 1; i >= 0; i--) {
        int bit = b[i] - '0';
        if (bit == 1) {
            r = (r * stoi(a)) % stoi(c);
        }
        a = to_string((stoi(a) * stoi(a)) % stoi(c));
    }
    return to_string(r);
}

性能评估

通过对比常规算法和快速幂算法的运行时间，可以发现快速幂算法的速度远远高于常规算法。

在计算大量数字的模幂时，使用快速幂算法是一个高效的选择。

参考文献

[1] 陈越等. 数据结构[M]. 清华大学出版社, 2004.

[2] 《算法竞赛进阶指南》. 读书笔记. 2020.

[3] https://www.geeksforgeeks.org/modular-exponentiation-power-in-modular-arithmetic/