射线球相交方程 - C++

射线球相交是计算机图形学中经常使用的算法，用于判断一条射线是否与一个球相交，并计算交点的位置。本文将介绍射线球相交的原理及其在C++中的实现。

原理

射线球相交的原理基于数学公式，下面是该公式：

(p - c)·(p0 - c) = r^2

其中，p为射线与球的交点，c为球的中心点，p0为射线起点，r为球的半径。

上述公式可以转换为下面的形式：

(p0 - c)·(p0 - c) + 2t(p0 - c)·d + t^2d·d - r^2 = 0

其中，t是射线参数，d为射线方向向量。该公式可以使用二次方程求解，计算射线与球的交点。

实现

在C++中，我们可以定义一个函数来实现射线球相交算法。下面是一个示例代码：

bool raySphereIntersection(const Vector3& origin, const Vector3& direction, const Vector3& center, float radius, float& distance)
{
    Vector3 oc = center - origin;
    float b = oc.dotProduct(direction);
    float c = oc.dotProduct(oc) - radius*radius;
    if (c > 0 && b > 0) return false;
    float discriminant = b*b - c;
    if (discriminant < 0) return false;
    distance = -b - std::sqrt(discriminant);
    if (distance < 0) distance = 0;
    return true;
}

该函数接收四个参数：射线起点origin，射线方向向量direction，球的中心点center和球的半径radius。函数返回一个布尔值，表示射线是否与球相交，并将射线与球的交点距离保存到distance变量中。

在函数内部，首先计算射线方向向量和球中心点的向量oc，并使用点积计算向量oc与射线方向向量direction的夹角。如果oc与direction不在同一方向，则射线与球没有相交点，返回false。

如果oc与direction在同一方向，则计算二次方程的判别式，并判断是否存在实数根。如果判别式小于0，则说明没有实数根，射线与球无交点，返回false。

如果存在实数根，则计算距离，并将其保存到distance变量中。如果距离小于0，则说明交点在射线起点的后面，将distance设置为0即可。最后，返回true表示射线与球有交点。

结论

射线球相交是一种常用的图形学算法，用于判断射线是否与一个球相交。该算法基于数学公式，可以使用二次方程求解，计算射线与球的交点。在C++中，我们可以定义一个函数来实现射线球相交算法，并返回射线与球的交点距离。