最长公共子串（空间优化DP方案）

什么是最长公共子串？

最长公共子串（Longest Common Substring，简称 LCS）指的是两个字符串中，最长的有相同字串（即连续子串）的长度。

例如，字符串 A = "abcdefg"，字符串 B = "defghij"，它们的最长公共子串为 "def"，长度为 3。

解决方案

我们可以使用动态规划（DP）来解决最长公共子串问题。但是，朴素的 DP 解法的空间复杂度较高，为 O(mn)，其中 m 和 n 分别为两个字符串的长度。

在本文中，将介绍一种空间优化 DP 方案，其空间复杂度可降至 O(n)。

空间优化 DP

空间优化 DP 方案的核心思想是：在 DP 过程中，只需要记录当前计算所需的状态，而不需要记录所有的状态。

在 最长公共子序列 的空间优化 DP 方案中，我们只需记录上一个状态和当前状态，就能在 O(1) 空间内完成计算。但对于 最长公共子串，我们需要记录当前状态之前的状态，因为它们在计算当前状态时都会被用到。

我们可以借助滚动数组的思想，将二维数组优化为一维数组，并以一定的顺序依次计算出所有状态。具体来说，我们可以按行或按列的顺序计算状态，并将计算出的状态保存在一维数组中。这样，我们就只需要记录两个一维数组，即当前状态和前一个状态，就能完成整个 DP 过程，从而将空间复杂度降至 O(n)。

以下是最长公共子串的空间优化 DP 代码片段：

def longest_common_substring(s1: str, s2: str) -> int:
    m, n = len(s1), len(s2)
    dp = [0] * n  # 当前状态
    pre_dp = [0] * n  # 前一个状态
    max_len = 0
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            if s1[i] == s2[j]:
                if i == 0 or j == 0:
                    dp[j] = 1  # 处理边界
                else:
                    dp[j] = pre_dp[j - 1] + 1  # 转移方程
                max_len = max(max_len, dp[j])
            else:
                dp[j] = 0  # 不匹配则置为0
            pre_dp[j] = dp[j]  # 更新前一个状态
    return max_len

在上述代码中，我们首先定义了两个一维数组：dp 和 pre_dp，分别代表当前状态和前一个状态。然后，我们按行的顺序依次计算状态，用 dp[j] 表示当前状态下以 s1[i] 和 s2[j] 结尾的最长公共子串的长度，用 pre_dp[j] 表示前一个状态下以 s1[i-1] 和 s2[j-1] 结尾的最长公共子串的长度。

对于每个状态 dp[j]，如果 s1[i] 和 s2[j] 相等，则可以根据转移方程 dp[j] = pre_dp[j-1] + 1 计算出 dp[j]；否则， dp[j] 应该为 0。每次计算完当前状态后，我们将 dp 数组保存为 pre_dp 数组，以备下一次计算使用。最终，我们遍历所有状态，找到最长的公共子串长度，并将其返回。

总结

空间优化 DP 方案通过记录当前状态和前一个状态，将二维数组优化为一维数组，并以一定的顺序依次计算出所有状态，从而将空间复杂度降至 O(n)。本文介绍了最长公共子串的空间优化 DP 方案，给出了对应的代码片段，并对其进行了解释。通过这种方案，我们可以在 O(n) 的空间复杂度下解决最长公共子串问题，从而为字符串匹配等问题的解决提供了更加高效简洁的解决方案。