最长公共子序列 | DP-4

在计算机科学中，最长公共子序列（LCS）是指在所有给定序列中最长的子序列（可能不是唯一的）。

举个例子，比如有两个字符串 "ABCD" 和 "ACDB"，它们的最长公共子序列就是 "ACD"。

在这里，我们将介绍如何使用动态规划解决最长公共子序列问题。

动态规划

动态规划是一种自底向上的算法设计技术，将一个问题划分成许多子问题，并在求解子问题的过程中避免解决重复的子问题。

一般来说，使用动态规划解决问题需要满足两个条件：

1. 重叠子问题性质：需要重复求解相同的子问题。
2. 最优子结构性质：要求可将问题的最优解拆成子问题的最优解。

解决方案

我们可以使用动态规划来解决最长公共子序列问题。

首先，我们需要定义一个二维数组 L，其中 L[i][j] 表示第一个字符串前 i 个字符和第二个字符串前 j 个字符的最长公共子序列的长度。

接下来，我们可以按照如下的方法计算 L 数组的值：

1. 如果第一个字符串的第 i 个字符和第二个字符串的第 j 个字符相同，那么 L[i][j] 等于 L[i-1][j-1]（也就是不包括这两个字符时的最长公共子序列长度）加上 1。
2. 如果第一个字符串的第 i 个字符和第二个字符串的第 j 个字符不同，那么 L[i][j] 等于 L[i-1][j] 和 L[i][j-1] 中的最大值。

最后，L[m][n] 就是两个字符串的最长公共子序列长度。

代码实现

下面是最长公共子序列问题的 Python 代码实现：

def lcs(X, Y):
    m = len(X)
    n = len(Y)
 
    L = [[0 for x in range(n+1)] for x in range(m+1)]
 
    for i in range(1,m+1):
        for j in range(1,n+1):
            if X[i-1] == Y[j-1]:
                L[i][j] = L[i-1][j-1] + 1
            else:
                L[i][j] = max(L[i-1][j], L[i][j-1])
 
    return L[m][n]

总结

通过动态规划，我们可以方便地解决最长公共子序列问题。这个问题可以应用到许多场景中，比如字符串匹配和数据对齐等。如果您还没有学会动态规划，建议您先学习一下这个算法。