最长公共子序列 | DP-4

最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）问题是计算两个序列之间最长的子序列的长度，该子序列在两个原序列中都出现，不一定连续。

该问题可以通过动态规划（DP）求解，使用一个二维的表格来记录长度和对应的公共子序列。下面是该问题的算法和示例代码。

算法步骤

1. 创建一个二维的表格，行数为s1的长度加1，列数为s2的长度加1，初始值全为0；
2. 从第1行1列开始，逐行逐列填充表格：
   1. 如果s1[i-1]等于s2[j-1]，则LCS[i][j]=LCS[i-1][j-1]+1，即左上角值加1；
   2. 如果s1[i-1]不等于s2[j-1]，则LCS[i][j]等于LCS[i-1][j]和LCS[i][j-1]中的较大值；
3. 返回LCS[s1长度][s2长度]即为最长公共子序列的长度。

示例代码

下面是Python实现的示例代码：

def longest_common_subsequence(s1: str, s2: str) -> int:
    m, n = len(s1), len(s2)
    # 创建二维表格，初始值为0
    lcs = [[0] * (n+1) for _ in range(m+1)]
    for i in range(1, m+1):
        for j in range(1, n+1):
            if s1[i-1] == s2[j-1]:
                lcs[i][j] = lcs[i-1][j-1] + 1
            else:
                lcs[i][j] = max(lcs[i-1][j], lcs[i][j-1])
    return lcs[m][n]

时间复杂度与空间复杂度

该算法的时间复杂度为O(mn)，其中m和n分别为s1和s2的长度。空间复杂度也为O(mn)，因为需要创建一个二维的表格来存储每个子问题的解。一些优化可以减少空间复杂度，但是时间复杂度仍然相同。

总结

最长公共子序列问题是动态规划中的典型应用，该问题可以通过维护一个二维表格来记录每个子问题的解。该算法的时间复杂度为O(mn)，空间复杂度也为O(mn)。