具有 K 次反转的排列数

在计算机科学中，排列是指一组不同元素的集合按照一定顺序进行排列。给定一个长度为 n 的排列，若将此排列中的两个元素交换，则称为一次反转。

我们考虑具有 K 次反转的排列数问题，即给定 n 和 K，要求输出所有长度为 n，具有 K 次反转的排列数。

一、暴力穷举法

最朴素的解法是暴力穷举，将长度为 n 的所有排列都构造出来，并统计每个排列的反转次数是否等于 K。但显然这种算法的时间复杂度为 O(n!)，无法承受较大的 n。

二、动态规划法

接下来我们介绍一种时间复杂度为 O(n² K) 的动态规划算法。

下面定义符号 dp[i][j] 表示长度为 i，反转次数为 j 的排列数。考虑元素 a[i] 在排列中的位置，它可以放在前面 k 个数之后（包括第 0 个数），也可以放在后面 n-k-1 个数之后（包括第 k+1 个数）。如果将 a[i] 插入到前面 k 个数中，则需要添加 i-k-1 次反转；如果将 a[i] 插入到后面 n-k-1 个数中，则无需添加反转。

因此可以列出状态转移方程：

dp[i][j] = dp[i-1][j] * (i-1) + dp[i-1][j-1] * (i-j-1)

其中 dp[i-1][j] * (i-1) 表示将 a[i] 插入到前面 k 个数之后；dp[i-1][j-1] * (i-j-1) 表示将 a[i] 插入到后面 n-k-1 个数之后。

最终的结果为 dp[n][K]。

下面是 Python 代码实现：

def count_permutations(n: int, k: int) -> int:
    dp = [[0] * (k+1) for _ in range(n+1)]
    dp[0][0] = 1
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(k+1):
            dp[i][j] = dp[i-1][j] * (i-1)
            if j > 0:
                dp[i][j] += dp[i-1][j-1] * (i-j-1)
    return dp[n][k]

三、总结

本文介绍了如何计算具有 K 次反转的排列数。暴力穷举法时间复杂度较高，不适用于较大的 n；动态规划法时间复杂度为 O(n² K)。