题目介绍

给定整数 K 和 N，找到具有 K 个完美指数的前 N 个自然数的字典序最小排列。

所谓“完美指数”，是指可以表示成某个自然数的若干个连续的指数幂的乘积。例如：

• 1 是 0 的平方，它具有 1 个完美指数；
• 2 = 2^1，它具有 1 个完美指数；
• 3 = 3^1，它具有 1 个完美指数；
• 4 = 2^2，它具有 1 个完美指数；
• 5 = 5^1，它具有 1 个完美指数；
• 6 = 2^1 * 3^1，它具有 2 个完美指数；
• 7 = 7^1，它具有 1 个完美指数；
• 8 = 2^3，它具有 1 个完美指数；
• 9 = 3^2，它具有 1 个完美指数；
• 等等。

例如，当 K=2，N=4 时，前 4 个具有 2 个完美指数的自然数是 {2, 3, 4, 5}，它们按字典序排列后的最小排列是 {4, 2, 3, 5}。

解题思路

要找到具有 K 个完美指数的前 N 个自然数，需要按照字典序找到最小的排列。可以使用贪心算法进行求解。

首先，我们可以预处理出从 1 开始，具有 1 个完美指数的自然数序列 {1, 2, 3, 4, ...}，并将它们依次放入集合 S 中。

然后，我们从集合 S 中取出第一个元素，即具有 K 个完美指数的最小自然数 P，将 P 放入答案中，并从集合 S 中删除 P。

接下来，我们找到 P 的所有因子，并将它们加入集合 T 中。如果集合 T 中的某个元素 Q 在 S 中，就从 S 中删除它，并将 Q 放入 S 中。这样做的原因是，如果我们选用了 Q 而不是 P，那么 Q 肯定比 P 更小，从而达到了字典序更小的目的。

然后，我们从集合 S 中取出第一个元素，即具有 K 个完美指数的次小自然数。将它放入答案中，并重复上述过程，直到答案中有 N 个自然数。

代码实现

下面是 Python 3 代码实现：

import heapq

def perfect_power(K, N):
    S = [(1, 1)]
    ans = []
    while len(ans) < N:
        (num, p) = heapq.heappop(S)
        if num not in ans:
            ans.append(num)
            for i in range(2, K + 1):
                heapq.heappush(S, (num ** (1 / i), i))
    return ans

if __name__ == '__main__':
    K = 2
    N = 4
    ans = perfect_power(K, N)
    print(ans)

此代码先将 (1,1) 元组设置为集合 S 中的唯一元素，并使用堆数据结构排序。每次从 S 中取出堆顶元素 (num,p)，则 num 为集合 S 中具有 p 个完美指数的最小自然数。将 num 加入答案中后，可以通过计算 num 的各个因子的幂次，更新集合 S 的内容。如果任何因子的幂次能够更小地产生一组具有 p 个完美指数的数字，则将这个数字加入集合 S 中。重复此操作，直到答案列表的长度为 N。

该算法的时间复杂度为 O(KNlogN)，空间复杂度为 O(KN)。