K反转的排列数

K反转的排列数是指在一个包含1至N的排列中，可以通过反转其中任意长度为K的连续子序列来获得的不同排列数量。

算法实现

可以通过暴力枚举来计算K反转的排列数。

代码如下：

def k_reverse_permutation(n: int, k: int) -> int:
    cnt = 0
    nums = list(range(1, n + 1))
    for i in range(n - k + 1):
        for j in range(i + k, n + 1):
            nums[i:j] = nums[i:j][::-1]
            cnt += 1
    return cnt

时间复杂度为$O(N^2)$，空间复杂度为$O(N)$。

算法优化

暴力枚举的算法效率较低，可以采用数学方法来求解。

可以将原序列划分为多个长度为k + 1的块，每个块的最末一位为块尾，其余为块内的位置。

对于每个块，块头可以是与块尾相差 k 个位置的任意一个位置，而块内的位置可以任意排列。

因此，根据乘法原理，K反转的排列数可以表示为：

$$\mathrm{Ans} = (n-k)!\cdot\frac{1}{k!}\sum_{i=0}^{n-k}\frac{(-1)^i}{i!}$$

代码如下：

def k_reverse_permutation(n: int, k: int) -> int:
    ans = 1
    for i in range(n - k + 1, n + 1):
        ans *= i
    for i in range(1, k + 1):
        ans //= i
    sgn = 1
    sum_ = 0
    for i in range(n - k + 1):
        sum_ += sgn / math.factorial(i)
        sgn *= -1
    ans *= sum_
    return int(ans)

时间复杂度为$O(N)$，空间复杂度为$O(1)$。

总结

K反转的排列数是一道较为经典的排列组合问题，暴力枚举效率较低，可以采用数学方法进行优化。