通过在给定数组上最多 K 次拆分来最小化可能的最大数组元素

问题介绍

给定一个长度为 n 的数组 nums 和一个整数 k，将 nums 拆分成 k 个连续的子数组，且每个子数组的元素个数不少于 1，将每个子数组中的所有元素取最大值并求和，可以得到一个和。如何能够最小化这个和中的最大值？

解决方法

这个问题显然是一个最优化问题，即找到所有可能的拆分方法中最小的最大元素和。可以使用二分查找来进行优化。首先，我们需要找到元素和的上下界，下界为所有元素的最大值，上界为所有元素的和。然后，在这个范围内使用二分查找来寻找最小的最大元素和。

在二分查找过程中，对于测试的一个 mid 值，我们需要判断原数组是否可以被分成 k 个子数组，使得每个子数组中的最大元素和不超过 mid。这可以通过贪心算法来实现：从左到右遍历数组，逐步将元素加入当前组中，直到当前组中元素的和超过 mid，此时将当前组的和保存下来，并开始一个新组。需要注意到，如果当前剩下的元素个数不足 k 个，那么一定可以将其全部放在一个新的组中，这就可以避免组数少于 k 的情况发生。

最后，当找到一个 mid 值，使得数组可以被分为 k 个子数组，使得每个子数组中的最大元素和不超过 mid 时，我们就可以缩小二分查找的区间，并查找下一个 mid 值，直到区间长度小于一个非常小的值 eps。

时间复杂度

使用二分查找的时间复杂度为 O(log(sum(nums)))，每次测试一个 mid 值需要遍历整个数组，因此总的时间复杂度为 O(n*log(sum(nums)))。

实现示例

def split_array(nums: List[int], k: int) -> int:
    left, right = max(nums), sum(nums)
    eps = 1e-6
    while right - left > eps:
        mid = (left + right) / 2
        sum_, cnt = 0, 1
        for num in nums:
            sum_ += num
            if sum_ > mid:
                sum_ = num
                cnt += 1
        if cnt <= k:
            right = mid
        else:
            left = mid
    return int(right)

总结

这个问题是一个有趣且实用的最优化问题，也是一种很好的练习贪心算法和二分查找的题目，希望本文可以对大家有所帮助。