每对相邻元素满足条件的最长严格增长子集

介绍

本篇文章介绍了如何求解每对相邻元素满足 $2 \times A[i] \geq A[i+1]$ 的最长严格增长子集的长度。具体来说，给定一个数组 $A$，找到一个最大的严格增长子集 $S$，使得对于任意的 $i \in [1, |S|-1]$，都有 $2 \times S[i] \geq S[i+1]$。

算法分析

以下为具体的算法分析。

动态规划

设 $dp[i]$ 表示以 $A[i]$ 结尾的最长严格增长子集的长度。状态转移方程为：

$$ dp[i] = max{dp[j] + 1} (A[j] < A[i]\ \text{且}\ 2 \times A[j] \geq A[i]) $$

初始状态为 $dp[i] = 1$。最终的答案为 $max{dp[i]}$，即所有以 $A[i]$ 结尾的最长严格增长子集中的最大者。

时间复杂度：$O(n^2)$，其中 $n$ 是数组 $A$ 的长度。

贪心算法

首先我们将数组 $A$ 排序。接着，我们从前往后扫描数组 $A$，对于每个元素 $A[i]$，如果存在 $A[j]$ 满足 $2 \times A[j] \geq A[i]$，则将 $A[j]$ 加入到当前的最长严格增长子集中。最终的答案即为最长严格增长子集的长度。

时间复杂度：$O(n log n)$，其中 $n$ 是数组 $A$ 的长度。

代码实现

以下为算法的 Python 代码实现。

动态规划

def longest_increasing_subsequence(A):
    n = len(A)
    dp = [1] * n
    for i in range(n):
        for j in range(i):
            if A[j] < A[i] and 2 * A[j] >= A[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    return max(dp)

贪心算法

def longest_increasing_subsequence(A):
    n = len(A)
    A = sorted(A)
    ans = 0
    for i in range(n):
        j = i + 1
        while j < n and 2 * A[i] >= A[j]:
            j += 1
        ans = max(ans, j - i)
    return ans

总结

本篇文章介绍了如何求解每对相邻元素满足 $2 \times A[i] \geq A[i+1]$ 的最长严格增长子集的长度。本文介绍了两种解决该问题的算法：动态规划和贪心算法。实际应用中，贪心算法通常能够获得更好的时间复杂度，但动态规划算法对于一些特殊的问题可以提供更强的解决能力。