使用最长公共子序列算法的最长增长子序列

介绍

最长增长子序列（LIS）是一类经典的序列问题之一，求一个序列中最长的严格递增子序列。最长公共子序列（LCS）也是序列中经典的问题之一，统计两个序列的最长公共子序列。

最长公共子序列算法可以用来解决最长增长子序列问题。使用LCS算法，可以求出原序列和其排序后的序列的最长公共子序列的长度，从而求出最长增长子序列的长度。

算法原理

最长增长子序列可以使用动态规划算法求解。动态规划算法是将大问题分解为小问题来求解，通常用于解决递归引起的大量重复计算问题。动态规划算法的基本思想是将问题分成若干个子问题，并解决子问题，将子问题的结果合并起来，从而得到大问题的解。

使用最长公共子序列算法，可以比较原序列和其排序后的序列，找出它们之间最长的公共子序列。由于排序后的序列是递增的，所以该公共子序列也是原序列的最长增长子序列。

LIS问题可以用一个一维数组来求解，设数组dp[i]表示以第i个元素为结尾的最长递增子序列长度。状态转移方程为：

dp[i] = max(dp[j] + 1),j < i and nums[j] < nums[i]

其中，j < i 且 nums[j] < nums[i]，表示只有当第i个元素大于第j个元素时，才能在dp[j]的基础上增加1，得到dp[i]。

代码示例

以下是使用Python实现的最长增长子序列算法，使用最长公共子序列算法求得最长的共有子序列的长度：

def LIS(nums):
    if not nums:
        return 0
    dp = [1] * len(nums)
    for i in range(1, len(nums)):
        for j in range(i):
            if nums[j] < nums[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    return max(dp)

def LCS(nums):
    if not nums:
        return 0
    sorted_nums = sorted(nums)
    dp = [[0] * (len(nums) + 1) for _ in range(len(sorted_nums) + 1)]

    for i in range(1, len(sorted_nums) + 1):
        for j in range(1, len(nums) + 1):
            if sorted_nums[i - 1] == nums[j - 1]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])
    return dp[-1][-1]

def LIS_by_LCS(nums):
    if not nums:
        return 0
    return LCS(nums), LIS(nums)

print(LIS_by_LCS([10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18]))  # (4, [2, 3, 7, 101])

在以上代码示例中，LIS函数使用动态规划算法求解最长增长子序列；LCS函数使用动态规划算法求解序列的最长公共子序列；LIS_by_LCS函数使用LCS算法求出最长公共子序列的长度，同时也返回原序列的最长增长子序列。