最多具有 X 个连续 1 和 Y 个连续 0 的二进制字符串的计数

问题描述

给定两个正整数 X 和 Y，找出长度为 n 的二进制字符串中，最多具有 X 个连续的 1 和 Y 个连续的 0 的字符串的个数。

解决方案

动态规划

我们可以使用动态规划（Dynamic Programming）来解决这个问题。

• 定义状态：设 dp[i][0] 表示前 i 位中最多有 i 个连续的 1 和 0 个连续的 0 的字符串的个数；dp[i][1] 表示前 i 位中最多有 i 个连续的 1 和 1 个连续的 0 的字符串的个数。其中，i∈[1, n]，0和1表示最后一位是否为0。

• 状态转移方程：

  当最后一位为1时：

  dp[i][0] = dp[i-1][0] + dp[i-1][1]

  dp[i][1] = dp[i-1][0]

  当最后一位为0时：

  dp[i][0] = dp[i-1][0]

  dp[i][1] = dp[i-1][0] + dp[i-1][1]

• 由于我们需要的是长度为 n 的二进制字符串，因此最终的答案是 dp[n][0] + dp[n][1]。

代码实现

以下是 Python3 的实现：

def countBinaryStrings(n: int, x: int, y: int) -> int:
    dp = [[0, 0] for _ in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        dp[i][0] = dp[i - 1][0] + dp[i - 1][1]
        dp[i][1] = dp[i - 1][0]
        if i - x >= 0:
            dp[i][0] -= dp[i - x][1]
        if i - y >= 0:
            dp[i][1] -= dp[i - y][0]
    return dp[n][0] + dp[n][1]

时间复杂度

本算法的时间复杂度为 O(n)。

总结

本文介绍了如何使用动态规划来解决“最多具有 X 个连续 1 和 Y 个连续 0 的二进制字符串的计数”问题。使用本算法能够使程序员更好地理解动态规划的问题求解方法，也能够为相似的问题提供参考解决方案。