通过连接单元以相等的值遍历整个矩阵的最小移动次数

在本文中，我们将介绍如何在矩阵中通过连接单元以相等的值遍历整个矩阵的最小移动次数。

问题描述

给定一个 $n \times m$ 的矩阵 $M$，其中包含数字 $0$ 或 $1$。要求从一个位置 $(i, j)$ 出发，通过连接相同数字的单元，遍历整个矩阵。具体而言，我们的目的是从起始位置 $(i,j)$ 出发，如上下左右等方向上的相邻单元与 $(i,j)$ 处单元值相等，则可以走到该相邻单元；反之则不能。求解通过连接单元以相等的值遍历整个矩阵的最小移动次数。如果无法遍历整个矩阵，则输出 $-1$。

解决方案

对于本问题，我们可以采用广度优先搜索（BFS）进行求解。具体而言，我们可以从起始位置出发，不断地找到与之相邻的单元，将它们加入到队列中，并在队列非空时继续寻找它们的相邻单元，直到所有的单元都被遍历到为止。此时，我们就可以得到经过连接单元以相等的值遍历整个矩阵的最小移动次数。

在搜索过程中，我们需要使用一个 $n \times m$ 的数组 $vis$ 来记录每个单元是否被访问过，以避免重复访问。我们还需要用一个 $n \times m$ 的数组 $d$ 来记录每个单元到起始位置的最短移动距离。

具体实现请参考下方的代码片段：

from collections import deque

def bfs(matrix, i, j):
    n, m = len(matrix), len(matrix[0])
    queue = deque([(i, j)])
    vis = [[False] * m for _ in range(n)]
    d = [[-1] * m for _ in range(n)]
    vis[i][j] = True
    d[i][j] = 0
    
    while queue:
        x, y = queue.popleft()
        for dx, dy in [(1, 0), (-1, 0), (0, 1), (0, -1)]:
            nx, ny = x + dx, y + dy
            if nx < 0 or nx >= n or ny < 0 or ny >= m:
                continue
            if matrix[nx][ny] != matrix[x][y]:
                continue
            if vis[nx][ny]:
                continue
            queue.append((nx, ny))
            vis[nx][ny] = True
            d[nx][ny] = d[x][y] + 1
    
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            if matrix[i][j] == 1 and not vis[i][j]:
                return -1
            
    return d[n-1][m-1]

使用样例

下面是一个使用样例，供大家参考。

matrix = [
    [1, 0, 1, 0],
    [1, 1, 1, 1],
    [0, 1, 0, 1],
    [1, 1, 1, 1],
]
i, j = 0, 0

print(bfs(matrix, i, j)) # 7

总结

通过本文，我们了解了如何通过连接单元以相等的值遍历整个矩阵的最小移动次数，并使用 BFS 算法进行了求解。通过实践，我们可以更好地理解算法的原理，提高求解问题的能力。