通过仅在 X 的值差异上移动的矩阵中的最小成本路径

介绍

在一个矩阵中，从左上角走到右下角，仅能向下或向右移动，且每次移动的成本由与当前位置的 X 值的差异决定。现在需要找到一条具有最小成本的路径。

例如，对于下面的矩阵：

| 1 | 3 | 1 | |:-:|:-:|:-:| | 1 | 5 | 1 | | 4 | 2 | 1 |

从左上角到右下角的路径可以是：

| Y | Y | | |:-:|:-:|:-:| | | Y | | | | Y | Y |

成本为 1 + 2 + 0 = 3。

解法

可以使用动态规划来解决这个问题。设 $f(i,j)$ 表示从左上角到格子 $(i,j)$ 的最小成本。

对于第一行和第一列的格子，直接初始化为到达该格子的成本。

对于其他格子，有两种方案到达 $(i,j)$，即从 $(i-1,j)$ 向下移动或从 $(i,j-1)$ 向右移动，得到状态转移方程：

$$f(i,j) = \min(f(i-1,j), f(i,j-1)) + |X_{i,j}-X_{i-1,j}\text{ or }X_{i,j}-X_{i,j-1}|$$

求出 $f(n,m)$ 即为从左上角到右下角的最小成本路径。

代码

以下是 Python 代码实现：

def min_cost_path(matrix):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    f = [[float('inf') for _ in range(n)] for _ in range(m)]
    f[0][0] = 0

    # 初始化第一行和第一列的最小成本
    for i in range(1, m):
        f[i][0] = f[i-1][0] + abs(matrix[i][0] - matrix[i-1][0])
    for j in range(1, n):
        f[0][j] = f[0][j-1] + abs(matrix[0][j] - matrix[0][j-1])

    # 动态规划解决问题
    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            f[i][j] = min(f[i-1][j], f[i][j-1]) + abs(matrix[i][j] - matrix[i-1][j] if f[i-1][j] <= f[i][j-1] else matrix[i][j] - matrix[i][j-1])

    return f[-1][-1]

返回的是最小成本。

注意：在比较 $f(i-1,j)$ 和 $f(i,j-1)$ 的时候，不能直接比较大小，需要判断两者哪一个是最小值，然后使用对应的 X 值进行计算。