使用关键凝聚法计算矩阵的行列式

简介

行列式是线性代数中一个经典的概念，它是一个方阵所对应的一个标量值。它在求解线性方程组、计算特征值和特征向量等问题中都扮演着重要的角色。其中，关键凝聚法是一种有效的计算行列式的方法，在实际应用中也被广泛采用。

关键凝聚法的基本原理

关键凝聚法是一种通过行变换将矩阵的行列式变为更加简单的形式的方法。具体来说，对一个$n\times n$的矩阵$A$，我们可以将其第$i$行拆分为两部分，即$A_{i}=\begin{bmatrix}a_{i,1}&a_{i,2}&\cdots&a_{i,k}&\cdots&a_{i,n}\end{bmatrix}$和$A'{i}=\begin{bmatrix}0&\cdots&0&a{i,k+1}&\cdots&a_{i,n}\end{bmatrix}$，其中$k$是关键元素所在的列数。然后，我们将$A_{i}$减去$a_{i,k}/a_{k,k}\times A_{k}$，得到$A''{i}=\begin{bmatrix}a{i,1}&\cdots&a_{i,k-1}&0&a'{i,k+1}&\cdots&a'{i,n}\end{bmatrix}$，即去掉了关键元素所在的列。这时，我们可以将行列式$|A|$表示为$|A_{i}|=\pm a_{i,k}\times|A''{i}|$的形式。以此类推，我们可以递归计算出$|A{i}|$，直至$|A''_{i}|$成为一个$2\times 2$的矩阵或者一个$1\times 1$的矩阵。对于后者，行列式的值即为这个元素本身；对于前者，行列式的值为对角线元素的乘积减去非对角线元素的乘积。

代码示例

使用 Python 实现关键凝聚法计算行列式的示例代码如下：

import numpy as np

def det_by_cohesion_method(A):
    n = A.shape[0]
    swap_times = 0
    for i in range(n):
        k = i
        for j in range(i, n):
            if abs(A[j, i]) > abs(A[k, i]):
                k = j
        if k != i:
            A[i], A[k] = A[k], A[i]
            swap_times += 1
        if abs(A[i, i]) < 1e-8:
            return 0
        for j in range(i+1, n):
            A[j, i:] -= A[j, i]/A[i, i]*A[i, i:]
    res = ((-1)**swap_times)*np.prod(np.diag(A))
    return res

# 示例
A = np.array([
    [2, 3, 1, 0],
    [1, 0, 1, 1],
    [0, 2, 0, 3],
    [1, 1, 1, 1]
])
print(det_by_cohesion_method(A))

其中，A为输入的$n\times n$的矩阵。函数det_by_cohesion_method依次进行了关键凝聚法的各个步骤，返回行列式的值。