矩阵的行列式

在代数和矩阵的研究中，线性方程组通常以矩阵形式表示。例如，

a ₁ x + b ₁ y + c ₁ = 0

a ₂ x + b ₂ x + c ₂ = 0

这样的系统也可以表示为

$\begin{bmatrix} a_{1} & b_{1}\\ a_{2} & b_{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} c_{1}\\ c_{2} \end{bmatrix}$

现在，该方程组是否具有唯一解，由数字a ₁ b ₂ – a ₂ b _1决定。确定解决方案唯一性的数量称为行列式。它广泛用于计算机科学和电气工程领域。行列式还使我们对空间的面积或体积有所了解。为了解决行列式，我们需要首先理解一些术语，例如未成年人和辅因子。让我们了解它们。

未成年人

要求未成年人找到矩阵的单个元素(每个元素)的行列式。它们是通过消除该元素的行和列而获得的每个元素的决定因素。如果给定的矩阵为：

$\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} &a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix}$

₁₂的未成年人将是决定因素：

$\begin{vmatrix}a_{21} & a_{23}\\a_{31} & a_{33}\end{vmatrix}$

问题：在行列式中找到较小的5 $\begin{vmatrix}2 & 1 & 2\\4 & 5 & 0\\2 & 0 & 1\end{vmatrix}$

回答：

The minor of 5 will be the determinant of $\begin{vmatrix}2 & 2\\2 & 1\end{vmatrix}$

Calculating the determinant, the minor is obtained as: 

(2 × 1) – (2 × 2) = -2

辅助因子

辅因子通过一个小公式_{与次要元素相关，对于元素a ij} ，该元素的辅因子为C _ij ，而次要_{元素为M ij，}则辅因子可以写为：

C_ij = (-1)^i+jM_ij

问题：找到行列式第一行和第二列中元素的辅因子：

$\begin{vmatrix}2 & 1 & 2\\4 & 5 & 0\\2 & 0 & 1\end{vmatrix}$

回答：

In order to find out the cofactor of the first row and second column element i.e the cofactor for 1. First find out the minor for 1, which will be: 

$\begin{vmatrix}4 & 0\\2 & 1\end{vmatrix} \\ = (4 \times 1) - (2 \times 0) \\ = 4$

M₁₂ = 4

Now, applying the formula for cofactor: 

C₁₂ = (-1)^{1 + 2}M₁₂

⇒ C₁₂ = (-1)³ × 4

⇒ C₁₂ = -4

伴随的

阶数为n的矩阵的伴随可以定义为其辅因子的转置。对于矩阵A：

Adj. A = [C_ij]_n×n^T

矩阵转置

矩阵A的转置表示为A ^T或A’。显然，矩阵的垂直面称为列，水平面称为行。转置矩阵意味着将行替换为列，反之亦然，因为行和列都在变化，所以顺序矩阵也会改变。

 If a Matrix is given as A= [a_ij]_m×n, then its Transpose will become A^T or A’ = [a_ji]_n×m

问题：矩阵的转置将是什么：

$\begin{bmatrix}2 & 1\\3 & 0\\6 & 9\end{bmatrix}_{2\times3}$

回答：

Interchanging Rows and Columns, AT = $\begin{bmatrix}2 & 3 & 6\\1 & 0 & 9\end{bmatrix}_{3\times2}$

行列式

行列式是与每个n阶方阵A = [a _ij ]相关的数。矩阵A的行列式由| A |表示或det(A)。

如果A = $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ ，它的行列式表示为$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$

行列式的物理意义

考虑一个2D矩阵，该矩阵的每一列都可以视为xy平面上的向量。因此，二维平面上两个向量之间的行列式给出了包围在它们之间的面积。如果我们扩展此概念，则在3D中行列式将为我们提供两个矢量之间的体积。

二维中两个向量之间的区域

一阶矩阵的行列式

令X = [a]为一阶矩阵，则其行列式由det(X)= a给出。

二阶矩阵的行列式

令X = $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ ，它的行列式由元素的交叉乘法给出。

det(X)= $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

问题：评估A = $\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}$

回答：

A = $\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} \\ = 2(1) - 4(3) \\ = 2 - 12 \\ = -10$

行列式3×3的行列式

可以通过用二阶行列式表示来确定它。它可以沿行(R1，R2或R3)或列(C1，C2或C3)扩展。考虑3阶矩阵A。

A =  $\begin{bmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{bmatrix}$  

步骤1：将R1的第一个元素a11乘以(-1)(1 +1)[(a11中的后缀的(-1)和)，并乘以通过删除A的R1和C1行的元素而获得的二阶行列式因为a11位于R1和C1中。 $(-1)^{1 + 1}a_{1}\begin{vmatrix} b_{2} & b_{3} \\ c_{2} & c_{3} \end{vmatrix}$

步骤2：类似地，将第一行R1的第二个元素与删除第一行和第二列之后获得的行列式相乘。 $(-1)^{1 + 2}a_{12}\begin{vmatrix} b_{1} & b_{3} \\ c_{1} & c_{3} \end{vmatrix}$

步骤3：将行R1的第三元素与删除第一行和第三列后获得的行列式相乘。 $(-1)^{1 + 3}a_{3}\begin{vmatrix} b_{1} & b_{2} \\ c_{1} & c_{2} \end{vmatrix}$

步骤4：现在，行列式A的展开，即| A |。可以写成| A | = $(-1)^{1 + 1}a_{1}\begin{vmatrix} b_{2} & b_{3} \\ c_{2} & c_{3} \end{vmatrix} + (-1)^{1 + 2}a_{12}\begin{vmatrix} b_{1} & b_{3} \\ c_{1} & c_{3} \end{vmatrix} + (-1)^{1 + 3}a_{3}\begin{vmatrix} b_{1} & b_{2} \\ c_{1} & c_{2} \end{vmatrix}$

同样，通过这种方式，我们可以沿任何行和任何列扩展它。

问题：评估行列式det(A)= $\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

回答：

We see that the third column has most number of zeros, so it will be easier to expand along that column. 

det(A) = $(-1)^{1 + 3}0\begin{vmatrix}4 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} + (-1)^{2 + 3}0\begin{vmatrix}1 & 3 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} + (-1)^{1 + 3}1\begin{vmatrix}1 & 3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} \\ = -11$

行列式的性质

• 反射属性：行列交换后，行列式的值保持不变。矩阵的行列式及其转置保持不变。
• 切换属性：如果行列式的任何两行或列互换，则行列式的符号会更改。

For Example: $\begin{vmatrix} 3 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 5 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

det. A = [3×{(1×1)-(0×1)}]-[3×{(2×1)-(5×1)}]+[0×{(2×0)-(5×1)}]

= {3×(1-0)}-{3×(2-5)+0

= [3-{3(-3)}+0]

= (3+9)

=12

Now, Interchanging Row 1 with Row 2, determinant will be:

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 0 \\ 5 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

det. A = [2×{(3×1)-(0×0)}]-[1×{(3×1)-(5×0)}]+[1×{(3×0)-(5×3)}]

= (6-3-15)

= -12

• 重复属性/比例属性：如果行列式的任何两行或任意两列相同，则行列式的值将变为零。
• 标量多重属性：如果行列式的行(或列)的每个元素乘以常数k，则其值乘以k

 $\begin{vmatrix} ka & kb \\ c & d \end{vmatrix} = k\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$

• Sum属性：如果行或列的某些或全部元素可以表示为两个或多个项的和，则行列式也可以表示为两个或多个行列式的和。

 $\begin{vmatrix} a_{1} + \lambda_{1} & a_{2} + \lambda_{2} & a_{3} + \lambda_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \lambda_{1} & \lambda_{2} & \lambda_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{vmatrix}$

属性示例

问题1：如果x，y，z不同。和A = $\begin{vmatrix} x & x^{2} & 1 + x^{3} \\ y & y^{2} & 1 + y^{3} \\ z & z^{2} & 1 + z^{3} \end{vmatrix} = 0$ ，则表明1 + xyz = 0。

回答：

Using Sum Property:

 $\begin{vmatrix} x & x^{2} & 1 + x^{3} \\ y & y^{2} & 1 + y^{3} \\ z & z^{2} & 1 + z^{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x & x^{2} & 1 \\ y & y^{2} & 1\\ z & z^{2} & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x & x^{2} & x^{3} \\ y & y^{2} & y^{3} \\ z & z^{2} & z^{3} \end{vmatrix} \text{} \\ = (-1)^{2}\begin{vmatrix} 1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2}\\ 1 & z & z^{2} \end{vmatrix} + xyz\begin{vmatrix} 1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2}\\ 1 & z & z^{2} \end{vmatrix} \\ = (1 + xyz) \begin{vmatrix} 1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2}\\ 1 & z & z^{2} \end{vmatrix} = 0$ 

On solving this determinant and expanding it, 

A = (1 + xyz)(y- x)(z-y)(z-x) 

Since it’s given in the question, that all x, y and z have different values and A =0. So the only term that can be zero is 1 + xyz. 

Hence, 1 + xyz = 0

问题2：评估$\begin{vmatrix} 102 & 18 & 36 \\ 1 & 3 & 4 \\ 17 & 3 & 6 \\ \end{vmatrix}$ 。

回答：

Using Scalar Multiple Property and Repetition Property: 

 $\begin{vmatrix} 102 & 18 & 36 \\ 1 & 3 & 4 \\ 17 & 3 & 6 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 17(6) & 6(3) & 6(6) \\ 1 & 3 & 4 \\ 17 & 3 & 6 \\ \end{vmatrix} \\ = 6\begin{vmatrix} 17 & 3 & 6 \\ 1 & 3 & 4 \\ 17 & 3 & 6 \\ \end{vmatrix} = 0 \text{}$

问题3：评估行列式A。 $A = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 5 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} \\$

回答：

Using Proportionality Property:

Two of the rows of the matrix are identical. 

So, $A = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 5 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} \\ = 0 \text{}$