📅 最后修改于: 2023-12-03 14:56:30.078000 🧑 作者: Mango
矩阵的行列式是一个标量，用于描述矩阵的某些性质。矩阵的行列式只在方阵中有定义。针对一个$n * n$的矩阵$A$，它的行列式定义为：$det(A)$，其中：
$$ \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \end{vmatrix} $$
$$ det(A) = \sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{i,j}det(A_{i,j}) \qquad (j\in[1, n]) $$
其中，$A_{i,j}$ 表示将第 i 行和第 j 列删去后的矩阵。$j$ 在此处起到的作用是选择一个符号。
这个公式本身并不适合直接计算。实际上，矩阵的行列式一般有三种方法来计算。
暴力计算法，就是对于每一个元素，使用公式进行求值。这个方法需要计算 $n!$ 次，时间复杂度为 $O(n!)$。这显然不是一个可行的方法，并且即使使用矩阵分块等加速技术，时间复杂度也不能降低到 $O(n^3)$ 以下。因此，我们需要寻找一些更好的算法。
矩阵的行变换是一个重要的工具，可以方便计算矩阵的特定值，例如行列式。对于行变换，我们可以使用矩阵变换形式表达。对于矩阵 A 中的一个元素 $a_{i,j}$, 我们希望通过加、减、交换等操作，将其变成 $0$。在这样的操作中，行变换的目标主要有两个：使 $a_{i,j}$ 变为 $0$，同时不影响其他行列式值的计算。
对于很多矩阵 A，可以用正交矩阵 Q 和对角矩阵 D 来表示：$A = QDQ^{-1}$。由此，我们可以得到 $det(A) = det(Q)det(D)det(Q^{-1})$。这样就将行列式的计算和矩阵的对角化联系了起来，即容易计算等价于 $A$ 的对角矩阵 $D$ 中的行列式，并且 $det(Q)$ 和 $det(Q^{-1})$ 可以通过正交矩阵的性质，直接计算得到。
矩阵的行列式广泛应用于线性代数、微积分、数学物理等领域。
在线性代数中，矩阵的行列式用于判断矩阵的可逆性、求解线性方程组等。一个$n * n$的矩阵 $A$ 可逆，当且仅当它的行列式不为 $0$。在使用高斯消元法等技术解线性方程组时，通过消元得到的矩阵的行列式就是方程组的解。
在微积分和数学物理中，矩阵的行列式也有广泛应用。例如，矩阵的行列式可以用于计算行列式的梯度和拉普拉斯算子，同时，行列式也经常用于定义区域的图形体积和度量等。