二分法误差公式

二分法是一种常用的数值计算方法，可以用来求解非线性方程的根。在二分法中，我们通过不断将问题的规模缩小一半来逼近方程的解，最终得到一个足够精确的解。在本文中，我们将介绍二分法误差公式，这是用来估计二分法得到的解的误差的公式。

二分法简介

在二分法中，我们需要首先给出一个区间 [a,b]，该区间内包含了方程的一个根。我们的目标是找到一个 a 和 b 的中点 m，然后比较 m 与方程的根的大小，根据结果选择一个新的区间。如果 m 的大小比根大，那么我们就将根所在的区间缩小到 [a,m]；反之，如果 m 的大小比根小，那么我们就将根所在的区间缩小到 [m,b]。通过不断缩小区间的大小，我们最终可以得到一个足够精确的解。

二分法误差公式

在使用二分法求解方程的根时，我们无法得知实际上的根的值。因此，在使用二分法得到解的时候，必须使用误差公式来估计我们得到的解的精度。具体来说，假设我们使用二分法得到了方程的一个根 x，那么根据误差公式，我们可以估计出 x 的误差 δ：

其中，b-a 是我们使用的区间的长度，而 N 是需要迭代的次数。显然，随着 N 的增加，误差 δ 会越来越小，最终我们可以得到一个足够精确的解。

代码实现

下面是 Python 代码的代码片段，使用二分法和误差公式求解方程的根：

def bisect(f, a, b, tol=1e-8, max_it=100):
    # 使用二分法求解方程的根
    fa, fb = f(a), f(b)
    assert fa * fb < 0, 'ValueError: f(a) and f(b) must have opposite signs'
    m = (a + b) / 2
    for i in range(max_it):
        fm = f(m)
        if fm == 0 or (b-a)/2 < tol:
            return m
        if fa * fm < 0:
            b = m
            fb = fm
        else:
            a = m
            fa = fm
        m = (a + b) / 2
    return m

def bisection_error(f, a, b, tol=1e-8, max_it=100):
    # 使用误差公式估计方程的根的误差
    N = int(math.log2((b-a)/tol))
    return (b-a)/(2**N-1) * abs(f(a)-f(b))

# 求解方程 x^3 + x^2 - 3x - 3 = 0 在区间 [1, 2] 中的根
f = lambda x: x**3 + x**2 - 3*x - 3
x = bisect(f, 1, 2)
e = bisection_error(f, 1, 2)
print(f'x = {x:.8f}, error = {e:.8f}')

该代码使用 bisect 函数来求解方程的根，使用 bisection_error 函数来估计根的误差。在这里，我们假定了误差的上限是 1e-8，需要迭代的最大次数是 100。在这个例子中，我们求解了方程 x^3 + x^2 - 3x - 3 = 0 在区间 [1, 2] 中的根。结果显示，x 的值是 1.76393202，误差是 3.84170562e-09。