三角形中的最大路径总和

在计算机科学领域，三角形中的最大路径总和是一个经典问题。该问题可以用各种算法解决，如递归，动态规划等。

问题描述

给定一个由数字组成的三角形，从顶点出发，每次只能向下移动到相邻的节点，沿路上数字相加。求从顶点到底部任一节点的路径中，数字和最大的路径。

例如，下面的三角形中，最大路径为18。

    5
   / \
  9   6
 / \ / \
4   6  8  0

解决方案

递归

通过递归实现，从顶点开始，依次递归到底部的每个节点。在每个节点处，分别计算从该节点开始的两条路径的最大路径总和。递归到底部时，返回底部节点的值。

def max_path_sum(triangle):
    """
    计算三角形中的最大路径总和（递归实现）

    :param triangle: 数字三角形
    :type triangle: List[List[int]]
    :return: 最大路径总和
    :rtype: int
    """
    def traverse(i, j):
        if i == len(triangle) - 1:
            return triangle[i][j]

        left = traverse(i + 1, j)
        right = traverse(i + 1, j + 1)

        return triangle[i][j] + max(left, right)

    return traverse(0, 0)

动态规划

我们可以从底部开始，逐层向上计算每个节点的最大路径总和。 最后，顶点处的值就是整个三角形的最大路径总和。

def max_path_sum(triangle):
    """
    计算三角形中的最大路径总和（动态规划实现）

    :param triangle: 数字三角形
    :type triangle: List[List[int]]
    :return: 最大路径总和
    :rtype: int
    """
    n = len(triangle)
    max_sum = triangle[-1][:]
    for i in range(n - 2, -1, -1):
        for j in range(i + 1):
            max_sum[j] = triangle[i][j] + max(max_sum[j], max_sum[j + 1])
    return max_sum[0]

总结

无论采用递归还是动态规划的方法，都可以高效地解决三角形中的最大路径总和问题。但是，动态规划方法更加高效和优雅。使用递归方法有可能导致性能问题，特别是在三角形过大的情况下。因此，建议使用动态规划方法来解决这个问题。