给定数组中最大路径总和，最多跳转K次

在处理数组时，我们常常需要考虑最大路径总和的问题。这个问题的解决方案通常会利用到动态规划算法。但是，最大路径总和的问题通常假设每个元素只能被访问一次。那么，如果我们希望可以跳转K次，又该如何解决呢？

解决方案

我们可以使用一个二维数组dp来保存到达每个元素时，经过最多K次跳转的最大路径总和。那么，dp[i][j]可以被定义为：

$$ dp[i][j] = max(dp[i-1][k]) + arr[i][j] $$

其中，

• $0 \leq k \leq j$；
• $arr$是给定的数组。

通过这个定义，我们可以使用下面的伪代码来解决该问题：

for k = 1 to K:
    for i = 0 to n-1:
        for j = 0 to m-1:
            dp[i][j][k] = max(dp[i-1][k-1] + arr[i][j], dp[i-1][k] + arr[i][j], dp[i-1][k+1] + arr[i][j])

这个伪代码中，我们相当于使用了一个三维数组dp，其中：

• 第一维表示到达的行数；
• 第二维表示到达的列数；
• 第三维表示剩余跳转次数。

最后，我们只需要在最后一行中，找出最大的路径和即可。

时间复杂度

上面的伪代码的时间复杂度是$O(Knm)$。这是因为外层循环需要跑K次，内部的两个循环一共需要跑nm次。所以整体的时间复杂度为$O(Knm)$。

代码实现

下面是使用Python实现的伪代码：

def max_sum(arr, K):
    n, m = len(arr), len(arr[0])
    dp = [[0]*m for _ in range(K+1)]
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            dp[0][j] = max(dp[0][j], arr[i][j])
    
    for k in range(1, K+1):
        for i in range(n):
            for j in range(m):
                dp[k][j] = max(dp[k][j], dp[k-1][j] + arr[i][j])
                if j > 0:
                    dp[k][j] = max(dp[k][j], dp[k-1][j-1] + arr[i][j])
                if j < m-1:
                    dp[k][j] = max(dp[k][j], dp[k-1][j+1] + arr[i][j])
    
    return max(dp[K])

总结

在计算最大路径和时，将跳转次数的信息也考虑进去，可以让我们更准确地计算最大值。尽管需要通过动态规划算法来解决这个问题，但是最后得到的时间复杂度还是比较可控的。