国际空间研究组织 | ISRO CS 2014 |问题 26

这是国际空间研究组织（ISRO）的2014年计算机科学考试中的问题26。ISRO是印度的宇航机构，专注于太空科学和技术发展。

问题描述

以下是问题描述：

给定一个大小为n的整数数组a[]，以及q个查询。每个查询包括两个整数l和r(1 <= l <= r <= n)，返回数组a[]中从左到右在l和r之间的最小值。例如，如果数组a[]为[1, 4, 2, 5, 3]，则从l = 2到r = 4的最小值为2。

解决方案

这是一个经典的问题，解决它的常用方法是使用线段树。线段树是一种高效的数据结构，用于解决数组的各种查询问题，例如区间最小值、区间和、区间乘积等。

线段树

线段树是一种二叉树，它将数组分成若干个区间，并为每个区间分配一个节点。每个节点维护其对应区间的最小值。因此，根节点维护整个数组的最小值。每个节点的左右子树继续维护该区间的左半部分和右半部分。这个过程可以递归地进行，直到区间大小变为1时停止。

为了更好地理解线段树，下面是一个示例，它显示了如何为长度为7的数组[1, 4, 2, 5, 3, 7, 6]构造线段树。

┌───────────[1,7]───────────┐
│                            │
[1,4]                    [5,7]
│                            │
[1,2]           [3,4]      [5,6]        [7,7]
│                │           │             │
[1,1]  [2,2]   [3,3]  [4,4]  [5,5]    [6,6]  [7,7]

如上所示，线段树的根节点包含整个数组的最小值。每个节点都代表一个区间，而其左子树和右子树分别代表该区间的左半部分和右半部分。

通过构建线段树，我们可以将一个数组分割成多个子区间，并在常数时间内快速获取任意子区间的最小值。线段树的构造需要O(nlogn)的时间，而查询每个子区间的最小值的时间复杂度为O(logn)。

程序实现

以下是Python代码，其中Tree是一个表示线段树的类，实现了构造、查询和更新操作。

class Tree:
    def __init__(self, arr):
        self.n = len(arr)
        self.tree = [0] * (4 * self.n)
        self.build(arr, 1, 0, self.n - 1)

    def build(self, arr, node, left, right):
        if left == right:
            self.tree[node] = arr[left]
        else:
            mid = (left + right) // 2
            self.build(arr, 2 * node, left, mid)
            self.build(arr, 2 * node + 1, mid + 1, right)
            self.tree[node] = min(self.tree[2 * node], self.tree[2 * node + 1])

    def query(self, node, left, right, l, r):
        if left > r or right < l:
            return float('inf')
        elif left >= l and right <= r:
            return self.tree[node]
        else:
            mid = (left + right) // 2
            return min(self.query(2 * node, left, mid, l, r),
                       self.query(2 * node + 1, mid + 1, right, l, r))

    def update(self, node, left, right, index, value):
        if left > index or right < index:
            return
        elif left == right:
            self.tree[node] = value
        else:
            mid = (left + right) // 2
            self.update(2 * node, left, mid, index, value)
            self.update(2 * node + 1, mid + 1, right, index, value)
            self.tree[node] = min(self.tree[2 * node], self.tree[2 * node + 1])

下面是使用上面实现的线段树解决问题的Python代码。

def solve(arr, queries):
    tree = Tree(arr)
    result = []
    for query in queries:
        l, r = query
        result.append(tree.query(1, 0, tree.n - 1, l - 1, r - 1))
    return result

总结

本文介绍了如何使用线段树解决区间最小值问题。线段树是一种强大的数据结构，它可以在O(nlogn)的时间内为一个数组构造一棵树，然后在O(logn)的时间内查询和更新任何子区间。