信号采样定理

信号采样定理是数字信号处理中的一个重要概念。这个定理告诉我们，当数字信号中的采样频率等于信号最高频率的两倍时，能够完全重构原始模拟信号。

什么是信号采样定理？

信号采样定理是指：若用周期为T的冲激串对连续时间x(t)进行抽样，则在使采样频率 f​s>=2f​m时，从采样信号x​s(t)中可恢复出原始信号的全部信息。其中，f​s为抽样频率，f​m为信号最大频率

信号重构原理

信号重构原理是指，如果原始模拟信号的带宽为B，则在采样频率为2B的情况下，通过一定的数字信号处理算法，我们可以完全重构原始模拟信号。这是因为，在采样频率为2B的情况下，我们可以获得足够多的采样点信息，从而通过插值或者滤波等算法，重构出原始模拟信号。

采样频率对信号重构的影响

当采样频率低于信号最高频率的两倍时，会出现采样失真，即信号不能完全重构。当采样频率高于信号最高频率的两倍时，为了避免浪费存储空间和计算资源，减小采样频率可以更好的处理信号。

代码示例

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import signal

# 生成一个频率为5Hz的正弦波信号
fs = 100
t = np.linspace(0, 1, fs, endpoint=False)
x = np.sin(2 * np.pi * 5 * t)

# 对信号进行采样
Ts = 0.01
n = np.arange(0, len(x))
xn = np.sin(2 * np.pi * 5 * n * Ts)

# 用低通滤波器还原原始信号
b, a = signal.butter(4, 0.1, 'lowpass')
filtered_xn = signal.filtfilt(b, a, xn)

# 绘制对比图
fig, (ax0, ax1) = plt.subplots(nrows=2, sharex=True)
ax0.plot(t, x)
ax0.set_title('Original Signal')
ax1.plot(t, filtered_xn)
ax1.set_title('Reconstructed Signal')
plt.show()

这里我们先生成一个频率为5Hz的正弦波信号，然后以采样频率为100Hz进行采样，以0.01s采样时间采样，采样得到一个离散的信号xn。接着，我们用一个低通滤波器对xn进行还原，得到重构后的信号，用来与原始信号进行对比。从图中可以看出，重构后的信号与原始信号几乎完全重合，说明采样频率在这个例子中大于信号最高频率的两倍，可以完全重构原始信号。