给定最大可能对角线数时多边形的边数

在计算几何中，经常需要求解多边形的各种性质。这里介绍一种计算给定最大可能对角线数时多边形的边数的方法。

方法介绍

首先，对于一个边数为 $n$ 的多边形，其最大可能对角线数为 $C_n^2 - n$，即从 $n$ 条边中选择两条边构成对角线，再减去已有的 $n$ 条边。

而对于一个给定的最大可能对角线数 $d$，我们可以通过求解满足 $C_n^2 - n = d$ 的最大 $n$ 值，得到对应的多边形边数。

具体地，可以对上式进行移项得到 $n^2 - n - 2d = 0$，然后利用一元二次方程求根公式 $n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8d}}{2}$，由于我们要求的是整数解 $n$，因此只需要取最小的满足 $n^2 - n - 2d \geqslant 0$ 的 $n$ 即可。注意，由于多边形至少需要三条边，因此当 $d$ 小于 $2$ 时，返回 $3$。

示例代码

下面是一个实现给定最大可能对角线数时多边形的边数计算的 Python 代码片段。

def maximum_diagonal(n: int) -> int:
    return n*(n-3)//2

def polygon_edge_number_diagonal_maximum(d: int) -> int:
    if d < 2:
        return 3
    n = int((1 + (1+8*d)**0.5) / 2)
    n += n % 2 # we want to get an odd number for the polygon edges
    while maximum_diagonal(n) < d:
        n += 2
    return n

这里，maximum_diagonal 函数用于计算正 $n$ 边形的最大可能对角线数，polygon_edge_number_diagonal_maximum 则实现了上述介绍的算法。其输入参数为最大可能对角线数 $d$，返回值为对应的多边形的边数 $n$。在实现中，我们先利用 $n^2 - n - 2d = 0$ 求解出 $n$ 的解析表达式，然后利用循环逐个判断，直到找到最小的满足 $n^2 - n - 2d \geqslant 0​$ 的 $n$。