通过在选择第一个 Array 元素后否定整个总和，可能的最大子集总和

一般情况下，我们都可以使用动态规划算法来求解连续的最大子数组和问题。但是如果题目增加了条件，比如要求选择的子数组必须包含第一个元素，那么动态规划的做法似乎就不那么直接了。在这种情况下，我们需要寻找新的思路。

解法

考虑将问题转换成求原数组中除去第一个数的最小连续子数组和。我们可以遍历一次数组，计算出所有以第二个数为起点的、连续的子数组的和。然后我们取这些子数组中和最小的那个。最后，原数组的最大连续子数组和就是原数组的总和减去这个最小连续子数组和。

代码实现

def max_subset_sum(arr):
    n = len(arr)
    # 计算以第二个数为起点的、连续的子数组和
    # 因为要包含第一个数，所以从第二个数开始
    min_sum = float('inf')
    sum_so_far = 0
    
    for i in range(1, n):
        sum_so_far += arr[i]
        min_sum = min(min_sum, sum_so_far)
        sum_so_far = max(sum_so_far, 0)
    
    # 原数组的总和减去最小连续子数组和就是最大连续子数组和
    return sum(arr) - min_sum

时间复杂度分析

遍历一次数组，时间复杂度 $O(n)$。

空间复杂度分析

使用了常数个额外变量，空间复杂度 $O(1)$。

总结

通过在选择第一个 Array 元素后否定整个总和，我们找到了一种不同于动态规划的解决连续的最大子数组和问题的方法。这个算法时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(1)$。