数组所有子集的总和(最大元素 - 最小元素)

给定一个整数数组，计算数组所有子集中的元素之和，其中每个子集的元素之间的差值取自子集的最大元素和最小元素之差。

实现方法

此问题可以通过暴力枚举所有子集来解决，然后计算每个子集的最大值和最小值之差，并将其累加到总和中。

def subset_sum(nums):
    n = len(nums)
    res = 0
    for i in range(1 << n):
        subset = [nums[j] for j in range(n) if i & (1 << j)]
        if not subset:
            continue
        max_num = max(subset)
        min_num = min(subset)
        res += max_num - min_num
    return res

上述代码中，我们首先计算数组的长度 n，然后遍历所有的 $2^{n}$ 个子集，并对每个子集计算其最大值和最小值之差，并累加到总和中。

该算法的时间复杂度为 $O(2^{n}n)$，其中 $n$ 是输入数组的长度。这种算法的主要问题是其时间复杂度随着 $n$ 的增加而指数级增加，因此只适用于较小的输入。

优化方法

我们可以通过引入排序来优化上述算法，以便快速找到最大值和最小值。我们可以首先对输入数组进行排序，这样最小值和最大值就可以在 $O(1)$ 时间内计算。然后，我们可以继续通过遍历所有子集来计算子集的总和。最终，我们的时间复杂度将从 $O(2^{n}n)$ 降低到 $O(2^{n})$。

def subset_sum(nums):
    n = len(nums)
    nums.sort()
    res = 0
    for i in range(1 << n):
        subset = [nums[j] for j in range(n) if i & (1 << j)]
        if not subset:
            continue
        max_num = subset[-1]
        min_num = subset[0]
        res += max_num - min_num
    return res

该算法的时间复杂度为 $O(2^{n})$，其中 $n$ 是输入数组的长度。这种算法的主要优点在于其时间复杂度比暴力算法更低，但是仍然可以处理大型输入。

总结

本文介绍了一个计算数组所有子集的总和(最大元素 – 最小元素)的问题，并提供了两种算法来解决它。第一个算法使用了暴力枚举的方法，其时间复杂度为 $O(2^{n}n)$。第二个算法则通过排序并遍历所有子集来计算总和，其时间复杂度为 $O(2^{n})$。我们建议在处理更大的输入时使用第二个算法，因为它的复杂度更低。