给定数组的最大总和组合

介绍

在计算机科学中，给定一个数组，找到其中一个或多个子数组，使得这些子数组中的元素的总和最大。这个问题被称为 "最大子段和" 问题。解决这个问题有多种算法，其中一种是 Kadane 算法。本篇文章将介绍 Kadane 算法的思想以及具体实现，还会介绍其他几种最大子段和问题的解决方案。

Kadane 算法

Kadane 算法的思想是，在处理数组的过程中，记录当前所处理的子数组的最大和以及全局最大和，以及当前子数组的起始和结束位置。当遍历完整个数组后，最大和即为全局最大和。这个算法的时间复杂度为 $O(n)$，其中 $n$ 是数组的长度。以下为 Kadane 算法的代码实现：

def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
    max_ending_here = nums[0]
    max_so_far = nums[0]
    for i in range(1, len(nums)):
        max_ending_here = max(nums[i], max_ending_here + nums[i])
        max_so_far = max(max_so_far, max_ending_here)
    return max_so_far

以上代码使用 Python 实现。

分治思想

除了 Kadane 算法以外，还可以使用分治思想解决最大子段和问题。将数组一分为二，分别找出两个子数组的最大子段和，以及跨越中点的最大子段和。而跨越中点的最大子段和可以通过从中点开始向左和向右分别找出最大子段和，再加起来得到。这个算法的时间复杂度为 $O(n\log n)$，其中 $n$ 是数组的长度。

以下为分治算法的 Python 实现：

def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
    def helper(nums, left, right):
        if left == right:
            return nums[left]
        mid = left + (right - left) // 2
        left_sum = helper(nums, left, mid)
        right_sum = helper(nums, mid+1, right)
        cross_sum = cross_helper(nums, left, right, mid)
        return max(left_sum, right_sum, cross_sum)
    
    def cross_helper(nums, left, right, mid):
        left_sum = float('-inf')
        sum_ = 0
        for i in range(mid, left-1, -1):
            sum_ += nums[i]
            left_sum = max(left_sum, sum_)
        right_sum = float('-inf')
        sum_ = 0
        for i in range(mid+1, right+1):
            sum_ += nums[i]
            right_sum = max(right_sum, sum_)
        return left_sum + right_sum
    
    return helper(nums, 0, len(nums)-1)

动态规划

动态规划也可以用来解决最大子段和问题。假设 $dp[i]$ 表示以第 $i$ 个元素结尾的最大子段和，那么转移方程为 $dp[i] = \max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])$。这个算法的时间复杂度也是 $O(n)$。

以下为动态规划算法的 Python 实现：

def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
    n = len(nums)
    dp = [nums[0]]*n
    for i in range(1, n):
        dp[i] = max(dp[i-1]+nums[i], nums[i])
    return max(dp)

总结

最大子段和问题是一个经典的算法问题，有多种解决方案，其中 Kadane 算法是最常用的，时间复杂度为 $O(n)$。除了 Kadane 算法以外，还可以使用分治思想和动态规划解决这个问题。即使使用相同的算法，也可以通过代码的实现方式和细节不同，导致时间复杂度有所不同。