根据给定条件找到最大子序列总和

简介

在处理数列问题时，我们会经常需要找到其中一部分子序列的总和。这个总和可能是最大的、最小的，或者满足一定条件的。本文针对找到最大子序列总和这一场景进行介绍，给出两种常见的解决方法。

方法一：暴力枚举

设有一个长度为n的序列a，我们想找到其中一段连续的子序列，使得这个子序列的元素之和最大。可以使用暴力枚举的方式，构建双重循环，在n平方的时间复杂度下，寻找最大子序列总和。

以下是使用Python3实现的暴力枚举代码片段：

def max_subarray(array):
    max_sum = array[0]
    for i in range(len(array)):
        for j in range(i, len(array)):
            sub_sum = sum(array[i:j+1])
            if sub_sum > max_sum:
                max_sum = sub_sum
    return max_sum

在上述代码中，我们设定了一个变量max_sum来记录当前最大的子序列总和，并使用双重循环枚举所有可能的子序列，并依次计算每个子序列的总和，并与max_sum比较，如果新的子序列总和更大，则更新max_sum。

该解法的时间复杂度为O(n^2)，因为需要枚举每一个子序列，因此在处理长度较大的序列时，会出现运行时间过长的问题。

方法二：动态规划

设有一个长度为n的序列a，我们定义$sum_i$为$a_1$到$a_i$的子序列中，以$a_i$为结尾的最大子序列和。则最终的答案就是$\max\limits_{i=1}^n sum_i$。

我们考虑，如何将已知的$sum_i$和$a_{i+1}$结合起来，得到新的$sum_{i+1}$。可以得到如下递推公式：

$$ sum_{i+1} = \begin{cases} a_{i+1} \quad \quad \quad sum_i \le 0 \ a_{i+1}+sum_i \quad sum_i > 0 \end{cases} $$

表述的意思是，如果以$a_i$为结尾的子序列和小于等于0，那么以$a_{i+1}$为结尾的子序列就只能是自己，即$a_{i+1}$；否则，以$a_{i+1}$为结尾的子序列可以是以$a_i$为结尾的子序列加上$a_{i+1}$。

根据以上递推公式，我们可以设计一个O(n)的动态规划算法，求得最大的子序列和。

以下是使用Python3实现的动态规划代码片段：

def max_subarray(array):
    max_sum = array[0]
    cur_sum = array[0]
    for num in array[1:]:
        cur_sum = max(num, cur_sum + num)
        max_sum = max(max_sum, cur_sum)
    return max_sum

在上述代码中，我们使用两个变量来记录当前最大的子序列和max_sum和当前序列的和cur_sum。依次迭代数组array中的每一个元素num，对于每个元素都比较两种情况，即以它为结尾的子序列和是以之前的元素结尾的子序列和加上自己更大，还是只有自己更大。具体地，我们使用cur_sum记录下当前子序列的和，如果当前子序列和小于等于0，说明此时的子序列和不如$a_{i+1}$本身大，应该从$a_{i+1}$重新开始计算；否则，说明$a_{i}$发挥了作用，此时以$a_{i+1}$为结尾的子序列和应该包括$a_i$。

该算法的时间复杂度为O(n)，因此处理时间只与序列长度n有关，对于处理长度较大的序列时，效率较高。

结语

本文介绍了两种寻找最大子序列总和的算法，分别是暴力枚举和动态规划。在实际应用中，我们应该在时间和空间复杂度之间做出权衡，选择适合自己的算法来处理问题。