矩阵 matlab 方程

在 matlab 中，我们可以使用矩阵表示多个变量之间的关系，并用方程组的形式表示这些关系。矩阵方程在数学建模、机器学习、信号处理等领域都有广泛的应用。

线性方程组

线性方程组是最简单的矩阵方程，它的一般形式为：

$$Ax=b$$

其中 $A$ 是 $n\times n$ 的方阵，$b$ 是 $n\times 1$ 的常向量，$x$ 是 $n\times 1$ 的未知向量。

在 matlab 中，我们可以使用反斜杠符号 \ 求解线性方程组：

A = [1 2; 3 4];
b = [5; 6];
x = A \ b

上述代码中，我们定义了一个 $2\times 2$ 的矩阵 $A$ 和一个 $2\times 1$ 的向量 $b$，然后使用反斜杠符号求解方程 $Ax=b$，求得 $x$ 的值为：

-4
 4.5

也就是说，方程的解为 $x_1=-4$，$x_2=4.5$。

如果方程组有多个解，那么 \ 运算符会返回其中一个解。如果方程组无解或有无数解，\ 运算符会返回一个空向量或一个包含 NaN 元素的向量。

非线性方程组

非线性方程组是指至少有一个元素是非线性的方程组。非线性方程组的求解通常需要使用数值优化算法，matlab 中提供了多个函数来实现这个功能。

以以下非线性方程组为例：

$$\begin{cases} x^2+y^2=6 \ x^2-y^2=2 \end{cases}$$

我们可以使用 fsolve 函数求解该方程组：

fun = @(x) [x(1)^2 + x(2)^2 - 6; x(1)^2 - x(2)^2 - 2];
x0 = [1; 1];
x = fsolve(fun, x0)

上述代码中，我们首先定义了一个函数句柄 fun，该函数返回一个 $2\times 1$ 的向量，表示方程组的两个方程。然后，我们使用初始值 $x_0=[1;1]$ 调用 fsolve 函数，求得非线性方程组的解：

x =

    1.7454
    1.1860

如果方程组有多个解，fsolve 函数会返回其中一个解。如果方程组无解或有无数解，fsolve 函数会抛出错误。

矩阵形式的方程

除了线性方程组和非线性方程组，我们还可以使用矩阵形式来表示方程组。矩阵形式的方程通常使用 inv 函数求解。

以以下矩阵形式的方程为例：

$$\begin{bmatrix}1 & 2 \ 3 & 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5 \ 6\end{bmatrix}$$

我们可以使用 inv 函数求解该方程组：

A = [1 2; 3 4];
b = [5; 6];
x = inv(A) * b

上述代码中，我们定义了一个 $2\times 2$ 的矩阵 $A$ 和一个 $2\times 1$ 的向量 $b$，然后使用 inv 函数求解方程 $Ax=b$，求得 $x$ 的值为：

-4
 4.5

与使用 \ 运算符求解线性方程组的结果相同。

使用 inv 函数求解矩阵形式的方程组时，要注意 $A$ 的逆矩阵是否存在。如果 $A$ 的行列式为 0，那么 $A$ 的逆矩阵不存在，此时 inv 函数会抛出错误。