通过仅去除一个元素形成的最长斐波那契子阵列的长度

简介

斐波那契数列是指从第三项起，每一项都是前两项的和，如下所示：

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...

一个斐波那契子阵列是指原斐波那契数列中选取若干个数，使得这些数在原数列中连续且相邻，且组成的序列也是斐波那契数列。

给定一个整数数组，通过仅去除一个元素，可以形成多个斐波那契子阵列。我们要找到可以形成的最长斐波那契子阵列的长度。

示例

假设给定的数组为：

5, 3, 8, 9, 10, 2, 1, 7

去除其中的任意一个元素后，都可以形成多个斐波那契子阵列，如：

5, 3, 8, 9, 10, 1, 7
5, 3, 8, 9, 2, 1, 7
5, 3, 9, 10, 2, 1, 7
5, 3, 8, 10, 2, 1, 7

其中最长的斐波那契子阵列为：

5, 8, 13, 21

因此最长斐波那契子阵列的长度为 4。

解法

我们可以枚举去除哪个元素，然后尝试从该元素的左右两侧开始构造斐波那契数列，以确定能够形成的最长斐波那契子阵列的长度。

具体来说，我们可以使用两个指针 p1 和 p2 分别指向当前左侧斐波那契数列的最后一个元素和右侧斐波那契数列的第一个元素。初始化时，p1 指向第一个元素，p2 指向第二个元素。

接下来，我们不断调整 p1 和 p2，使得左侧斐波那契数列和右侧斐波那契数列交错构成一个斐波那契数列。具体来说，每次找到左侧斐波那契数列的下一个元素，如果可以和右侧的第一个元素组成一个新的斐波那契数列，则将 p1 和 p2 都向右移动一位，并继续构造。如果不能组成新的斐波那契数列，则尝试从右侧找到下一个元素，同样进行构造。

为了记录当前斐波那契数列的长度，我们使用变量 len 来记录，每次构造成功后将其加一。

最后，如果当前构造出来的斐波那契子阵列的长度大于之前找到的最长长度，就更新最长长度。

复杂度分析

由于我们枚举了所有可能的去除元素的组合，因此时间复杂度为 $O(n^2)$。对于每个组合，我们需要构造斐波那契数列，构造的过程中，每个元素只会被访问一遍，因此时间复杂度为 $O(n)$。因此总的时间复杂度为 $O(n^3)$。

空间上，我们只使用了常数级的额外空间，因此空间复杂度为 $O(1)$。

代码实现

我们可以按照上述的解法实现代码，具体如下：