可以刻在半圆上的最大正方形

假设有一个半径为 $r$ 的半圆，现在需要在其上刻出一个边长最长的正方形，该正方形的每个角都位于半圆上。如图所示：

为了求解该问题，需要用到一些数学知识。首先，根据三角函数，半圆上的任意一点可以表示为 $(r\cos\theta,r\sin\theta)$，其中，$\theta$ 表示该点与半圆的直径之间的夹角。因为正方形的顶点都位于半圆上，所以可以表示为 $(r\cos\alpha,r\sin\alpha)$，其中，$\alpha$ 表示正方形内角的一半。

由于正方形的四个顶点需要满足两两距离相等，因此可以得到以下方程：

$$\begin{cases} [r\cos(\alpha+\frac{\pi}{2})-r\cos\alpha]^2+[r\sin(\alpha+\frac{\pi}{2})-r\sin\alpha]^2=[2r\sin\alpha]^2 \ [r\cos(\alpha+\pi)-r\cos\alpha]^2+[r\sin(\alpha+\pi)-r\sin\alpha]^2=[2r\sin\alpha]^2 \ [r\cos(\alpha+\frac{3\pi}{2})-r\cos\alpha]^2+[r\sin(\alpha+\frac{3\pi}{2})-r\sin\alpha]^2=[2r\sin\alpha]^2 \end{cases}$$

化简上述方程，可以得到以下等式：

$$\begin{cases} \cos\alpha+\sin\alpha=\sqrt2 \ \cos\alpha-\sin\alpha=0 \end{cases}$$

解以上方程组，可以得到 $\cos\alpha=\frac{\sqrt2}{2}$，$\sin\alpha=\frac{\sqrt2}{2}$。因此，正方形的边长为 $2r\sin\alpha=\sqrt2r$，即：

$$l_{max}=\sqrt2r$$

下面是求解该问题的 Python 代码实现（可以通过输入半径，输出最大正方形的边长）：

import math

def max_square_on_semicircle(radius):
    """
    在半圆上刻出最大正方形的边长

    Args:
        radius: 半圆的半径

    Returns:
        最大正方形的边长
    """
    return math.sqrt(2) * radius

以上代码返回一个浮点数，表示半圆上的最大正方形的边长。