从二进制字符串中删除所有 0 所需的最小非相邻对翻转

简介

对于一个给定的由 '0' 和 '1' 组成的二进制字符串，要求删除其中所有的 '0'，且尽量少地翻转配对的相邻字符，使得最后得到的字符串中不存在 '0'。本题目的要求就是找到所需的最小非相邻对翻转次数。

解题思路

首先，要删去所有的 '0'，我们只需遍历一遍字符串，将所有的 '0' 用一个新的字符串替换掉即可。

接着，我们考虑怎样尽量少地翻转配对的相邻字符。我们可以用动态规划的方法来解决这个问题。具体来说，我们定义一个状态数组 $dp_i$，其中 $dp_i$ 表示对于原字符串的前 $i$ 个字符，所需的最小非相邻对翻转次数。对于状态转移方程，我们可以考虑对于第 $i$ 个字符，它要么被翻转，要么不被翻转。如果翻转，我们需要将所有能与其匹配的前后位置不相邻的字符都翻转，同时需要根据之前的状态 $dp_{i-1}$ 来计算翻转的代价；如果不翻转，则直接根据之前的状态 $dp_{i-1}$ 来计算不翻转的代价。综上所述，状态转移方程可以表示为：

$$ dp_i = \min{dp_{i-1}, dp_{i-2} + cost(i-1, i)} + flipCost(i) $$

其中 $cost(i-1, i)$ 表示将第 $i-1$ 个字符和第 $i$ 个字符翻转所需的代价。由于我们要使得翻转次数尽量少，所以需要将其定义为 0 或 1。如果原字符串中第 $i-1$ 和第 $i$ 个字符所组成的子串是 '01' 或 '10'，则代价为 1；否则代价为 0。而 $flipCost(i)$ 表示将第 $i$ 个字符翻转所需的代价。由于我们要尽量少地翻转相邻字符，所以定义为 0 或 1，具体规则同上。

最终，所求答案即为 $dp_n$，其中 $n$ 为原字符串的长度。

代码实现

以下是 Python 代码实现，时间复杂度为 $O(n)$。

def flip_cost(c):
    # 计算将字符 c 翻转所需的代价
    return 0 if c == '1' else 1

def cost(c1, c2):
    # 计算将两个字符 c1 和 c2 翻转所需的代价
    return 1 if c1 == '0' and c2 == '1' or c1 == '1' and c2 == '0' else 0

def count_flips(s):
    # 删去所有的 '0'
    s = s.replace('0', '')
    n = len(s)

    # 初始化状态数组
    dp = [0] * (n + 1)
    dp[1] = flip_cost(s[0])

    # 动态规划
    for i in range(2, n + 1):
        dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2] + cost(s[i - 2], s[i - 1])) + flip_cost(s[i - 1])
    
    return dp[n]